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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 84

O “co” de “cosseno” vem de “complementar”, já que o cosseno é o seno do ângulo complementar e vice-versa:

cos ⁡ x = sin ⁡ π 2 - x                           sin ⁡ x = cos ⁡ π 2 - x

Suponha que definamos uma função g como a cofunção de uma função f se

g x = f π 2 - x

Assim, o cosseno e o seno são cofunções uma da outra, bem como a cotangente e a tangente, a cossecante e a secante. Se g for a cofunção de f, enuncie uma fórmula que relacione g’ e a cofunção de f’. Discuta como essa relação é exibida pelas derivadas das funções cosseno, cotangente e cossecante.

Passo 1

Temos a seguinte relação entre cofunções

g x = f π 2 - x

Podemos derivar de ambos os lados para encontrarmos g ' x .

Passo 2

Sendo assim,

d d x g x = d d x f π 2 - x

Para calcular essa última derivada, faça u = π 2 - x . Logo,

d d x f π 2 - x = d d x f u d d x g x = d d u f u d u d x d d x g x = f ' u - 1 d d x g x = - f ' π 2 - x

Ou seja,

g ' x = - f ' π 2 - x

é a relação que procuramos!

Passo 3

  1. Para a função cosseno, temos

    2. cos ⁡ x = sin ⁡ π 2 - x d d x cos ⁡ x = d d x sin ⁡ π 2 - x = - cos ⁡ π 2 - x d d x cos ⁡ x = - sin ⁡ x

    como esperado!

  2. Para a função cotangente, temos

    3. cot ⁡ x = tan ⁡ π 2 - x d d x cot ⁡ x = d d x tan ⁡ π 2 - x = - sec 2 ⁡ π 2 - x d d x cot ⁡ x = - csc 2 ⁡ x

    conforme esperado!

  3. Para a função cossecante, temos:

csc ⁡ x = sec ⁡ π 2 - x d d x csc ⁡ x = d d x sec ⁡ π 2 - x = - sec ⁡ π 2 - x tan ⁡ π 2 - x d d x csc ⁡ x = - csc ⁡ x cot ⁡ x

Conforme esperado!

Resposta

A fórmula é g ' x = - f ' π 2 - x .

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