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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 74

Seja

f x = x 2 sin ⁡ 1 x ,   x ≠ 0 0 ,     x = 0

  1. Mostre que f é contínua em x = 0 .
  2. Use a definição 2.2 . 1 para encontrar f ' 0 .
  3. Encontre f ' x para x ≠ 0 .
  4. Mostre que f ' não é contínua em x = 0 .

Passo 1

Esse exercício segue uma linha de raciocínio muito parecida com o exercício anterior!! Então, vamos seguir os mesmos passos adotados lá, okay?

Passo 2

  1. Devemos mostrar que

    2. lim x → 0 ⁡ f x = f 0 = 0

    Assim, vamos calcular o limite:

    lim x → 0 ⁡ f x = lim x → 0 ⁡ x 2 sin ⁡ 1 x Porém, sabemos que - 1 ≤ sin ⁡ 1 x ≤ 1 . Assim, multiplicando por x 2 :

    - x 2 ≤ x 2 sin ⁡ 1 x ≤ x 2

    Como lim x → 0 ⁡ - x 2 = 0 e lim x → 0 ⁡ x 2 = 0 , segue pelo teorema do confronto que:

    lim x → 0 ⁡ x 2 sin ⁡ 1 x = 0

    ou seja, f é contínua em x = 0 .

    Passo 3

  2. Pela definição 2.2 . 1 , temos

    3. f ' 0 = lim x → 0 ⁡ f x - f 0 x - 0 f ' 0 = lim x → 0 ⁡ x 2 sin ⁡ 1 x - 0 x f ' 0 = lim x → 0 ⁡ x sin ⁡ 1 x

    Porém, pelo teorema do confronto também podemos concluir que esse último limite vale 0 (veja o exercício anterior). Sendo assim,

    f ' 0 = 0

    Passo 4

  3. Para x ≠ 0 basta derivarmos normalmente:

    4. f ' x = d d x x 2 sin ⁡ 1 x Primeiramente, utilizamos a regra do produto:

    f ' x = d d x x 2 sin ⁡ 1 x + x 2 d d x sin ⁡ 1 x f ' x = 2 x sin ⁡ 1 x + x 2 - 1 x 2 cos ⁡ 1 x f ' x = 2 x sin ⁡ 1 x - cos ⁡ 1 x

    Passo 5

  4. Note que lim x → 0 ⁡ f ' x não existe, pois deveríamos calcular o limite de lim x → 0 ⁡ cos ⁡ 1 x que não existe

Se o limite não existe, então a função não pode ser contínua em x = 0 !

Resposta

  1. Demonstração.
  2. f ' 0 = 0 .
  3. f ' x = 2 x sin ⁡ 1 x - cos ⁡ 1 x .
  4. Demonstração.
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