Movimento de uma partícula. A posição de uma partícula que se desloca ao longo de uma reta coordenada é dada por s = 1 + 4 t , com s em metros e t em segundos. Determine a velocidade e a aceleração da partícula em t = 6 s .

Passo 1

Precisamos determinar a velocidade e a aceleração da partícula em um determinado tempo. Para isto, precisamos obter a função da velocidade e da aceleração. E como faremos isto? Este é o grande problema da questão. Para resolvermos este impasse, vamos utilizar nossos conhecimentos de física! Lá na física aprendemos que:

v = d s d t

a = d v d t = d 2 s d t 2

Portanto, basta derivarmos a nossa função s duas vezes e aplicarmos t = 6 para descobrirmos a aceleração e a velocidade.

Passo 2

Vamos calcular cada uma das derivadas. Para a velocidade, temos:

v = d s d t = [ 1 + 4 t ] '

v = 1 2 1 + 4 t ⋅ [ 1 + 4 t ] '

v = 1 2 1 + 4 t ⋅ 4 = 2 1 + 4 t

Quando t = 6 ,

v 6 = 2 1 + 24 = 2 25 = 2 5   m / s

Passo 3

Para a aceleração, temos:

a = d 2 s d t 2 = 2 1 + 4 t ' = 2 1 + 4 t - 1 2 '

a = 2 ⋅ - 1 2 ⋅ 1 + 4 t - 3 2 ⋅ 1 + 4 t '

a = - 1 ⋅ 1 + 4 t - 3 2 ⋅ 4

a = - 4 ⋅ 1 + 4 t - 3 2

Para t = 6 , temos:

a 6 = - 4 1 + 24 - 3 2 = - 4 25 3 = - 4 5 6 = - 4 125   m / s 2

Resposta

v 6 = 2 5   m / s

a 6 = - 4 125   m / s 2

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