Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.6 - Ex. 97
Funcionamento muito rápido de um maquinário. Suponha que um pistão se desloque para cima e para baixo e que a sua posição no instante segundos seja dada por
Com e positivos. O valor de é a amplitude do movimento, e de é a frequência (número de vezes que o pistão se desloca para cima e para baixo a cada segundo). Que efeito a duplicação da frequência tem sobre a velocidade, a aceleração e a sobreaceleração do pistão? (Ao descobrir a resposta, você entenderá por que uma máquina quebra quando funciona rápido demais.
Passo 1
A questão nos pede para entender o que acontece com a velocidade, a aceleração e a sobreaceleração quando o valor de (frequência dobra). Para descobrirmos o que acontece, precisamos calcular estas grandezas. Eita! Como as calculamos? Esta é o grande problema da questão.
Para resolvermos este impasse, vamos utilizar nossos conhecimentos de física! Lá na física aprendemos que:
Agora sim! Basta derivarmos a função 3 vezes para obter cada uma dessas grandezas!
Passo 2
Vamos calcular cada uma das derivadas. Para a velocidade, temos:
Passo 3
Para a aceleração, temos:
Passo 4
Para a sobreaceleração, temos:
Passo 5
Portanto, se nos dobrarmos a frequência, isto é, fazermos , a velocidade dobrará, a aceleração quadruplicada e a sobreaceleração será multiplicada por 8. Uma pequena mudança na função posição causa uma grande mudança nas outras grandezas!
Resposta
A velocidade dobrará, a aceleração quadruplicada e a sobreaceleração será multiplicada por 8.