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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.Exercícios Práticos - Ex. 22

Verdadeiro ou falso?

  1. (1)/(x^4) = O ((1)/(x^2) + (1)/(x^4))
  2. (1)/(x^4) = o ((1)/(x^2) + (1)/(x^4))
  3. ln x = o ( x + 1 )
  4. ln 2 x = o ( ln x )
  5. sec^(- 1) x = O (1)
  6. sinh x = O ( e^x )

Passo 1

Bom, o enunciado pede para verificar se é verdadeiro ou falso quanto a ordem de crescimento das funções quando x -> oo ?

Mas o que seria esses “o” e “O”? Para isso, vamos relembrar as definições:

Temos uma função f de ordem menor que g quando x -> oo :

underset(x -> oo)(lim) (f ( x ))/(g ( x )) = 0

Quando isso ocorre dizemos que f é “ozinho” de g ou f = o ( g )

Show! E como verificamos se f é ozão de g . Bom, para isso, temos que fazer o seguinte:

(f ( x ))/(g ( x )) <= M

Onde M é um inteiro positivo.

E representamos f = O (g) .

Agora vamos verificar item por item. Beleza?

  1. (1)/(x^4) = O ((1)/(x^2) + (1)/(x^4))

((1)/(x^4))/((1)/(x^2) + (1)/(x^4)) = (1)/(x^2 + 1) <= 1 s e x > 0

Portanto, o item é verdadeiro

Passo 2

b ) (1)/(x^4) = o ((1)/(x^2) + (1)/(x^4))

underset(x -> oo)(lim) ((1)/(x^4))/((1)/(x^2) + (1)/(x^4)) = underset(x -> oo)(l i m) (1)/(x^2 + 1) = 0

Portanto, item verdadeiro

Passo 3

c ) ln x = o ( x + 1

underset(x -> oo)(l i m) (ln x)/(x + 1) = underset(x -> oo)(l i m) ((1)/(x))/(1) = 0

Portanto, item verdadeiro

Passo 4

d ) ln 2 x = o ( ln x )

(ln 2 x)/(ln x) = (ln 2)/(ln x) + 1 <= 1 + 1 = 2 s e x >= 2

Portanto, item verdadeiro

Passo 5

e ) sec^(- 1) x = O (1)

(sec^(- 1) x)/(1) = (cos^(- 1) ((1)/(x)))/(1) <= (pi)/(2) s e x > 1

Portanto, item verdadeiro

Passo 6

f ) sinh x = O ( e^x )

(sinh x)/(e^x) = (1)/(2) (1 - e^(- 2 x)) <= (1)/(2) s e x > 0

Portanto, item verdadeiro

Resposta

  1. Verdadeiro
  2. Verdadeiro
  3. Verdadeiro
  4. Verdadeiro
  5. Verdadeiro
  6. Verdadeiro
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