Verdadeiro ou falso?

  1. 1 / x^4 = O(1 / x^2 + 1 / x^4)
  2. 1/x^4 = o(1/x^2 + 1/x^4)
  3. ln x = o(x + 1)
  4. ln 2x = o(ln x)
  5. sec^(-1) x = O(1)
  6. sinh x = O(e^x)

Passo 1

Bom, o enunciado pede para verificar se é verdadeiro ou falso quanto a ordem de crescimento das funções quando x → ∞ ?

Mas o que seria esses “o” e “O”? Para isso, vamos relembrar as definições:

Temos uma função f de ordem menor que g quando x → ∞ :

lim x → ∞ ⁡ f ( x ) g ( x ) = 0

Quando isso ocorre dizemos que f é “ozinho” de g ou f = o ( g )

Show! E como verificamos se f é ozão de g . Bom, para isso, temos que fazer o seguinte:

f ( x ) g ( x ) ≤ M

Onde M é um inteiro positivo.

E representamos f = O g .

Agora vamos verificar item por item. Beleza?

  1. 1 x 4 = O 1 x 2 + 1 x 4

1 x 4 1 x 2 + 1 x 4 = 1 x 2 + 1 ≤ 1   s e   x > 0

Portanto, o item é verdadeiro

Passo 2

b )   1 x 4 = o  1 x 2 + 1 x 4 ⁡

lim x → ∞ ⁡ 1 x 4 1 x 2 + 1 x 4 = l i m x → ∞ 1 x 2 + 1 = 0  

Portanto, item verdadeiro

Passo 3

c )   ln ⁡ x   = o ( x + 1

l i m x → ∞ ln ⁡ x x + 1 =   l i m x → ∞ 1 x 1 = 0  

Portanto, item verdadeiro

Passo 4

d )   ln ⁡ 2 x = o ( ln ⁡ x )

ln ⁡ 2 x ln ⁡ x = ln ⁡ 2   ln ⁡ x   + 1 ≤ 1 + 1 = 2   s e   x ≥ 2  

Portanto, item verdadeiro

Passo 5

e )   sec - 1 ⁡ x = O 1

sec - 1 ⁡ x 1 =   cos - 1 ⁡ 1 x 1 ≤ π 2   s e   x > 1  

Portanto, item verdadeiro

Passo 6

f )   sinh ⁡ x = O ( e x )

sinh ⁡ x e x =   1 2   1 - e - 2 x ≤   1 2   s e   x > 0

Portanto, item verdadeiro

Resposta

  1. Verdadeiro
  2. Verdadeiro
  3. Verdadeiro
  4. Verdadeiro
  5. Verdadeiro
  6. Verdadeiro
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