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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.Exercícios Práticos - Ex. 20

f cresce mais rapidamente, mais lentamente ou à mesma taxa que g quando x → ∞ ?

  1. f x =   3 - x ; g x =   2 - x
  2. f x = ln ⁡ 2 x ; g x = ln ⁡ x 2
  3. f x = 10 x 3 + 2 x 2 ; g x = e x
  4. f x = tan - 1 ⁡ 1 x ; g x = 1 x
  5. f x = sin - 1 ⁡ 1 x ; g x = 1 x 2
  6. f x = sech ⁡ x ⁡ x ; g x = e - x

Passo 1

Bom, o enunciado pede para verificar quando f cresce mais rapidamente, mais lentamente ou à mesma taxa que g quando x → ∞ .Para isso, vamos precisar lembrar da definição das taxas relativas de crescimento

Taxas de crescimento quando x → ∞

Sejam f ( x ) e g ( x ) positivas para um x suficientemente grande.

  1. f cresce mais rapidamente do que g quando x → ∞ se

    2. lim x → ∞ ⁡ f ( x ) g ( x ) =   ∞

    ou, de modo equivalente, se

    lim x → ∞ ⁡ g ( x ) f ( x ) =   0

    Dizemos também que g cresce mais lentamente do que f quando x → ∞ .

  2. f e g crescem à mesma taxa quando x → ∞

lim x → ∞ ⁡ f ( x ) g ( x ) =   L

onde L é finito e positivo.

Agora, vamos ao item a:

  1. f x =   3 - x ; g x =   2 - x

    2. lim x → ∞ ⁡ 3 - x 2 - x =   l i m x → ∞ 2 3 x = 0

    Portanto, f ( x ) cresce mais lentamente que g ( x )

    Passo 2

  2.   f x = ln ⁡ 2 x ; g x = ln ⁡ x 2

    3. l i m x → ∞ ln ⁡ 2 x ln ⁡ x 2 =   l i m x → ∞ ln ⁡ 2 + ln ⁡ x   2 ( ln ⁡ x )   =   l i m x → ∞ ln ⁡ 2   2   ( ln ⁡ x ) + 1 2 = 1 2

    Portanto, crescem à mesma taxa.

    Passo 3

  3. f x = 10 x 3 + 2 x 2 ; g x = e x

    4. l i m x → ∞ 10 x 3 + 2 x 2 e x

    Podemos aplicar a regra de L’Hospital:

    l i m x → ∞ 30 x 2 + 4 x e x = l i m x → ∞ 60 x + 4 e x =   l i m x → ∞ 60 e x = 0

    Portanto, f ( x ) cresce mais lentamente que g ( x )

    Passo 4

  4. f x = tan - 1 ⁡ 1 x ; g x = 1 x

    5. l i m x → ∞ tan - 1 ⁡ 1 x 1 x = l i m x → ∞ tan - 1 ⁡   ( x - 1 ) x - 2 =   l i m x → ∞   - x - 2 1 + x - 2 - x - 2

    l i m x → ∞   1 1 + 1 x 2 = 1  

    Portanto, f ( x ) cresce à mesma taxa que g ( x )

    Passo 5

  5. f x = sin - 1 ⁡ 1 x ; g x = 1 x 2

    6. l i m x → ∞   sin - 1 ⁡ 1 x 1 x 2 = l i m x → ∞ sin - 1 ⁡ ( x - 1 ) x - 2  

    = l i m x → ∞ - x - 2 1 - x - 1 2 - 2 x - 3 = l i m x → ∞ x 2 1 - 1 x 2 =   ∞

    Portanto, Portanto, f ( x ) cresce mais rapidamente que g ( x )

    Passo 6

  6. f x = sech ⁡ x ⁡ x ; g x = e - x

l i m x → ∞   sech ⁡ x e - x =   l i m x → ∞ 2 e x + e - x e - x =   l i m x → ∞ 2 e - x ( e x + e - x )

l i m x → ∞   2 1 + e - 2 x = 2

Portanto, crescem à mesma taxa.

Resposta

  1. f ( x ) cresce mais lentamente que g ( x )
  2. crescem à mesma taxa.
  3. f ( x ) cresce mais lentamente que g ( x )
  4. crescem à mesma taxa.
  5. , f ( x ) cresce mais rapidamente que g ( x
  6. crescem à mesma taxa.
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