Ache a integral indefinida geral.

∫ sen ⁡ 2 x sen ⁡ x d x

Passo 1

Fala aí, tudo certinho com você?

Bom, essa questão pede pra gente encontrar a integral indefinida gral dada por:

∫ sen ⁡ 2 x sen ⁡ x d x

A ideia na hora de fazer uma integração é sempre verificar se podemos reescrever a função que está sendo integrada de uma forma mais simples. Isso ajudará a gente a encontrar o melhor método de integração.

Nesse caso, não temos uma regra definida para se trabalhar com quocientes, então só conseguimos integrar a função, manipulando-a de modo que possamos identificar integrais que conhecemos. Desse modo, vamos aplicar identidades trigonométricas nessa função:

Temos que o arco duplo do seno é dedo por:

sen ⁡ 2 x = 2 sen ⁡ x cos ⁡ x

Vamos então abrir essa expressão e ver como isso pode nos ajudar.

Vem comigo.

Passo 2

Substituindo em nossa função:

∫ sen ⁡ 2 x sen ⁡ x d x = ∫ 2 sen ⁡ x cos ⁡ x sen ⁡ x d x

Perceba que podemos simplificar essa fução. E nossa integral se torna:

∫ 2 cos ⁡ x d x

Agora, basta desenvolver essa integral que já é tabela.

A integral do cosseno é o seno. Assim:

∫ 2 cos ⁡ x d x = 2 sen ⁡ x

Só não pode esquecer da constante, heiiin!!!

∫ sen ⁡ 2 x sen ⁡ x d x = 2 sen ⁡ x + C

E prontinho. Tudo resolvido na nossa vida. :D

Resposta

∫ sen ⁡ 2 x sen ⁡ x d x = 2 sen ⁡ x + C

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