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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 8.4 - Ex. 15

Se uma renda é coletada continuamente a uma taxa de f t dólares por ano e será investida a uma taxa constante r (capitalizados continuamente) por um período de T anos, então o valor futuro da renda é dado por ∫ 0 T f t e r T - t d t . Calcule o valor futuro após 6 anos de renda recebida a uma taxa de f t = 8000 e 0,04 t dólares por ano e investido com juros de 6,2 %

Passo 1

Oi, pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Nesse problema temos que calcular o valor de uma renda recebida a uma taxa de f t = 8000 e 0,04 t em 6 anos com juros de 6,2 % .

Parece complicado? 👀

Foi dito no enunciado que o valor futuro de renda:

R = ∫ 0 T f t e r T - t d t

Onde r é a taxa de juros, T é o tempo em anos.

Nosso objetivo é encontrar o valor futuro após 6 anos com juros de 6,2 % .

Para isso, temos que: T = 6 , r = 6,2 % = 0,062 e f t = 8000 e 0,04 t

Veja só! 😉

Passo 2

Vamos substituir nossa variáveis e resolver:

R = ∫ 0 T f t e r T - t d t = ∫ 0 6 8000 e 0,04 t e 0,062 6 - t d t

Isolando a constante, temos:

R = 8000 ∫ 0 6 e 0,04 t e 0,372 - 0,062 t d t

Aplicando a multiplicação de potências, temos:

R = 8000 ∫ 0 6 e 0,04 t + 0,372 - 0,062 t d t

R = 8000 ∫ 0 6 e 0,372 - 0,022 t d t

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 3

Vamos resolver essa integral:

R = 8000 ∫ 0 6 e 0,372 - 0,022 t d t = 8000 - 1 0,022 e 0,372 - 0,022 t 0 6

R = - 8000 0,022 e 0,372 - 0,022 6 - e 0,372 - 0,022 0

R = - 8000 0,022 e 0,24 - e 0,372

R = - 8000 0,022 - 0,1793

Portanto:

R = 65230,48

Ou seja, o valor futuro é de $ 65.230,48 .

E aí! o que achou? Responde Aí! 😉

Resposta

O   v a l o r   f u t u r o   é   d e   $ 65.230,48

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