1. A curva y = x 2 - x ² É chamada curva ponta de bala. Encontre uma equação da reta tangente a essa curva no ponto 1,1 .
  2. Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da curva e da tangente na mesma tela.

Passo 1

Fala aí, tudo bem com você?

Bom, essa questão deu pra gente a curva:

y = x 2 - x ²

E pediu pra gente encontra a equação da reta tangente a essa curva no ponto ( 1,1 ) .

Além disso, precisaremos fazer o gráfico desta curva e da sua curva tangente na mesma tela.

E para encontrar a equação da reta tangente, faremos:

y - y ₀ = m x - x ₀

O valor m é a inclinação da reta, e é achado calculando a primeira derivada da função e aplicando o valor do ponto pedido.

Show, vamos fazer isso juntos.

Passo 2

a) Nossa curva é dada por:

y = x 2 - x ²

Para x > 0 , nós temos que x = x , assim ficamos com a expressão:

y = x 2 - x ²

Primeiro vamos arrumar um pouco essa função:

y = x 2 - x ² = x 2 - x ² - 1 2

Maravilha.

Passo 3

E para encontrar o coeficiente angular da nossa reta tangente, precisamos fazer a derivada de y . Como ele é formado por uma multiplicação entre duas outras funções, podemos usar a regra do produto:

f x g x ' = f ' ( x ) g x + g ' x f x

Temos que:

f x = x

Vamos calcular f ' ( x ) , usando a regra do polinômio:

x n ' = n x n - 1

f ' x = 1

e

g x = 2 - x ² - 1 2

Vamos agora derivar g ' ( x ) , usando a regra da cadeia, da função constante e do polinômio:

c ' = 0 e x n ' = n x n - 1

g ' x = 2 - x 2 - 1 2 '

g ' x = - 2 - x 2 - 3 2 2 ⋅ - 2 x

Assim,

g ' x = x 2 - x ² - 3 2

Passo 4

Agora é só substituir na expressão:

y ' = f ' x g x + g ' x f x

y ' = 1 ⋅ 2 - x 2 - 1 2 + x 2 - x 2 - 3 2 ⋅ x

y ' = 1 2 - x 2 1 2 + x 2 2 - x 2 3 2

y ' = 2 2 - x ² 3 2

Passo 5

Vamos agora aplicar no ponto 1,1 :

f ' 1 = 2 2 - 1 2 3 2 = 2

Ou seja, nosso coeficiente angular da reta tangente é:

m = 2

Passo 6

Agora é só substituir na fórmula da equação da reta, utilizando o ponto dado:

y - y ₀ = m x - x ₀

Substituindo tudo que encontramos até aqui, ficamos com:

y - 1 = 2 x - 1

y = 2 x - 2 + 1

E nossa reta tangente será:

y = 2 x - 1

Passo 7

b) Ilustração do gráfico:

Veja que nossa reta tangencia o gráfico da função no ponto ( 1,1 ) e tem uma inclinação crescente como vimos na resolução.

E assim, concluímos mais uma questão.

Resposta

a)

y = 2 x - 1

b)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados