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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.1 - Ex. 76

Suponha que a curva y = x 4 + a x 3 + b x 2 + c x + d tenha uma reta tangente quando x = 0 com equação y = 2 x + 1 , e uma reta tangente quando x = 1 com equação y = 2 - 3 x . Encontre os valores de a , b , c e d .

Passo 1

Foi dada a curva y = x 4 + a x 3 + b x 2 + c x + d e foi dada duas tangentes a ela:

r 1 :       y = 2 x + 1 em x 1 = 0

r 2 :       y = 2 - 3 x em x 2 = 1 .

Queremos descobrir os valores de a , b , c e d .

Sabemos que uma reta tangente possui a seguinte equação:

y - y 0 = m x - x 0

Se resolvermos a expressão acima, vemos que o número que multiplica do x na equação da reta tangente é a inclinação m :

y = m x - m x 0 + y 0

E essa inclinação m se trata da derivada da curva no ponto de tangência.

Com essas informações a gente já pode começar a brincar...

Passo 2

A nossa curva y é dada por:

y = x 4 + a x 3 + b x 2 + c x + d

A derivada de y (da curva) é:

y ' = 4 x 3 + 3 a x 2 + 2 b x + c

Sabe-se que a inclinação de uma tangente é dada por m = y ' ( x 0 , y 0 ) , onde ( x 0 , y 0 ) é o ponto de tangência.

Sabemos que em x 1 = 0 , a inclinação m 1 = 2 , pois pela equação da reta tangente temos:

r 1 :       y = 2 x + 1 em x 1 = 0

Como temos o 2 multiplicando o x , ele é a inclinação da função nesse ponto.

E essa inclinação pode ser encontrada a partir da derivada da função no ponto, logo:

y ' x = 0 = m 1

4 ( 0 ) 3 + 3 a ( 0 ) 2 + 2 b 0 + c = 2  

Logo, encontramos que:

c = 2

Passo 3

Sabemos que em x 2 = 1 , a inclinação m 2 = - 3 , pois pela equação da reta tangente temos:

r 2 :       y = 2 - 3 x em x 2 = 1

Como temos o - 3 multiplicando o x , ele é a inclinação da função nesse ponto.

E essa inclinação pode ser encontrada a partir da derivada da função no ponto, logo:

y ' x = 1 = m 2

4 ( 1 ) 3 + 3 a ( 1 ) 2 + 2 b 1 + c = - 3  

Sabemos já que c = 2 , logo:

4 + 3 a + 2 b + 2 = - 3

3 a + 2 b = - 9   I

Vamos guardar essa equação por enquanto...

Passo 4

Os pontos x 1 , y 1 e x 2 , y 2 pertencem à curva, pois são pontos de tangência. Pelas equeções das tangentes, acharemos os valores de y 1 e y 2 que estão associados aos valores x 1 = 0 e x 2 = 1 :

r 1 :       y 1 = 2 x 1 + 1

  y 1 = 2 0 + 1

y 1 = 1  

r 2 :       y 2 = 2 - 3 x 2

y 2 = 2 - 3 1

y 2 = - 1

Logo, temos que os pontos de tangência onde obtivemos as equações das retas tangentes são

x 1 , y 1 = ( 0 ,   1 )

x 2 , y 2 = ( 1 ,   - 1 )

Podemos, então, substituir esses pontos na equação da curva, afinal eles são pontos que pertencem a curva.

y 1 = x 1 4 + a x 1 3 + b x 1 2 + c x 1 + d

1 = 0 4 + a 0 3 + b 0 2 + c 0 + d

d = 1  

y 2 = x 2 4 + a x 2 3 + b x 2 2 + c x 2 + d

- 1 = 1 4 + a 1 3 + b 1 2 + c 1 + 1  

→ a + b = - 5       ( I I )    

Formamos um sistema com ( I ) e ( I I ) :

3 a + 2 b = - 9 a + b = - 5

3 a + 2 b = - 9 - 2 a - 2 b = 10

Somando as duas, temos a = 1 e, logo,

b = - 9 - 3 a 2 = - 9 - 3 ( 1 ) 2 = - 6

Portanto, a = 1 , b = - 6 , c = 2 e d = 1 . E assim a gente matou essa!

Resposta

a = 1 , b = - 6 , c = 2 e d = 1

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Determine todos os pontos a , b de R 2 tais que por a , b passem duas retas tangentes ao gráfico de f x = x 2 .
Seja f x = x 2 . Determine a equação da reta que é tangente ao gráfico de f e paralela à reta y = 1 2 x + 3 .
Sabe-se que r é uma reta tangente aos gráficos de f x = - x 2 e de g x = 1 2 + x 2 . Determine r .
Sabe-se que r é uma reta que passa pelo ponto 0,2 e que é tangente ao gráfico de f x = x 3 . Determine r .
Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função dada, no ponto dado. g x = x + 1 x , no ponto de abscissa 1