Mostre que a área da superfície de uma zona de uma esfera entre dois planos paralelos é , em que é o diâmetro da esfera e , a distância entre os planos. (Observe que depende apenas da distância entre os planos e não de sua localização, desde que ambos os planos interceptem a esfera.)

Em 2D, a esfera vira um círculo, e o círculo tem como equação

Você se lembra de como calculamos a área de uma superfície gerada pela revolução de uma curva em torno do eixo ? Não?! Então vamos relembrar. Temos que a área é dada por

Então, na equação do círculo, vamos calcular a derivada em relação a

Então, a área é

Retirando a constante da integral:

Colocando para dentro da raiz:

Simplificando:

Sabendo que :

Realizando a integração