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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 8.2 - Ex. 16

A curva dada é rotacionada em torno do eixo y . Encontre a área da superfície resultante.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a função:

x 2 / 3 + y 2 / 3 = 1 ,   0 ≤ y ≤ 1

Conforme vimos nessa seção do livro, a área da superfície gerada pela rotação de uma curva em torno do eixo y é dada pela fórmula 8:

S = ∫ 2 π x d s

E, tendo:

d s = 1 + d y d x 2 d x

Substituindo d s na equação anterior:

S = ∫ 2 π x 1 + d y d x 2 d x

Passo 2

Então já sabemos o que precisamos calcular, o valor da derivada de y , para isso, primeiro vamos reescrever a função dada em função de y :

y 2 3 = 1 - x 2 3 → y = 1 - x 2 3 3 / 2

Agora, podemos calcular sua derivada aplicando a regra da cadeia

y ' = 3 2 1 - x 2 3 1 2 - 2 3 x - 1 3

E, reescrevendo a derivada, temos:

y ' = - 1 - x 2 / 3 x 1 / 3

Agora, precisamos encontrar o intervalo de integração em função de x , substituindo as extremidades dadas em y na equação, temos, para y = 0 :

x 2 / 3 + 0 = 1 → x = 1

E, para y = 1 :

x 2 / 3 + 1 2 / 3 = 1 → x = 0

Então o intervalo de integração será 0 ≤ x ≤ 1 . Substituindo esses valores na fórmula da área de superfície encontrada no passo 1:

S = ∫ 0 1 2 π x 1 + - 1 - x 2 / 3 x 1 / 3 2 d x = 2 π ∫ 0 1 x 1 + 1 - x 2 3 x 2 3 d x

E, reescevendo a integral, temos:

S = 2 π ∫ 0 1 x x 2 3 + 1 - x 2 3 x 2 3 d x = 2 π ∫ 0 1 x 1 x 1 3 d x

S = 2 π ∫ 0 1 x 2 / 3 d x

Passo 3

Agora ficou fácil, podemos resolver essa integral sem problemas:

S = 2 π 3 5 x 5 / 3 0 1 = 2 π 3 5 1 5 3 - 3 5 0 5 3

S = 2 π 3 5

E, finalmente, temos:

S = 6 π 5

Resposta

S = 6 π 5

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Use a regra de Simpson com n = 10 para aproximar a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x . Compare o seu resultado com o valor da integral obtido em sua calculadora y = ln
A curva dada é girada em torno do eixo y . Calcule a área da superfície resultante x = a 2 - y 2 , 0 ≤ y ≤ a / 2
Use um SCA ou uma tabela de integrais para encontrar a área exata da superfície obtida pela rotação da curva dada em torno do eixo x y = 1 x , 1 ≤ x ≤ 2
Use um SCA ou uma tabela de integrais para encontrar a área exata da superfície obtida pela rotação da curva dada em torno do eixo x y = x 2 + 1 , 0 ≤ x ≤ 3
Se a curva infinita y = e - x , x ≥ 0 é girada em torno do eixo x , calcule a área da superfície resultante