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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 8.2 - Ex. 28

Se a curva infinita y = e - x , x ≥ 0 é girada em torno do eixo x , calcule a área da superfície resultante.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a área da superfície obtida pela rotação da curva y = e - x em torno do eixo x , sabendo que essa curva é infinita e que x ≥ 0 .

Pra calcular a área da superfície de revolução em torno do eixo x , vamos usar a seguinte fórmula:

A = ∫ a b 2 π y   1 + y ' 2   d x

Então, o que nós vamos fazer calcular a derivada de y , elevar o resultado ao quadrado, somar 1 e colocar dentro da raiz. Depois, substituímos tudo na integral, com o intervalo a ,   b = [ 0 ,   ∞ ] e integramos para obter nossa área.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada de y em relação a x :

y ' = e - x - 1

y ' = - e - x

Agora vamos elevar esse resultado ao quadrado, somar 1 e colocar dentro da raiz:

1 + y ' 2 = 1 + e - 2 x  

Passo 3

Então, podemos calcular A , só substituirmos o que já encontramos na fórmula da integral de área:

A = ∫ 0 ∞ 2 π e - x 1 + e - 2 x   d x

A = 2 π ∫ 0 ∞ e - x 1 + e - 2 x   d x

Vamos calcular o valor da integral separadamente e sem os limites de integração (uma integral indefinida). Então, temos:

∫ e - x 1 + e - 2 x   d x

Seja u = - e - x , temos que d u = e - x . Substituindo, ficamos com

∫ e - x 1 + e - 2 x   d x = ∫ 1 + u 2   d u

Usando uma tabela de integrais, obtemos o resultado:

∫ 1 + u 2   d u = 1 2 u 1 + u 2 + 1 2 ln ⁡ u + 1 + u 2 + C

E substituindo u = - e - x de volta, temos:

= - 1 2 e - x 1 + e - 2 x + 1 2 ln ⁡ 1 + e - 2 x - e - x + C

Passo 4

Agora, basta substituirmos e aplicarmos os limites de integração né?! Não, observe que um dos limites de integração é ∞ , então temos uma integral imprópria e precisamos colocar o limite de uma variável tendendo a infinito, e substituir infinito por esta variável, olha só:

A = 2 π lim a → ∞ ⁡ ∫ 0 a e - x 1 + e - 2 x   d x

Substituindo o resultado da integral encontrado no passo anterior, vamos ter:

A = 2 π lim a → ∞ ⁡ - 1 2 e - x 1 + e - 2 x + 1 2 ln ⁡ 1 + e - 2 x - e - x 0 a

Aplicando os limites de integração:

A = 2 π lim a → ∞ ⁡ - 1 2 e - a 1 + e - 2 a + 1 2 ln ⁡ 1 + e - 2 a - e - a - - 1 2 1 + 1 + 1 2 ln ⁡ 1 + 1 - 1

E calculando o limite, obtemos:

A = 2 π 1 2 0 1 + 1 2 ln ⁡ 0 + 1 - - 1 2 2 + 1 2 ln ⁡ - 1 + 2

Simplificando:

A = 2 π { 0 + 1 2 2 - ln ⁡ 2 - 1

Encontramos nossa área:

A = π 2 - ln ⁡ 2 - 1

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A = π 2 - ln ⁡ 2 - 1

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