A curva dada é rotacionada em torno do eixo . Encontre a área da superfície resultante.
Passo 1
Nesse exercício iremos analisar a função:
Conforme vimos nessa seção do livro, a área da superfície gerada pela rotação de uma curva em torno do eixo é dada pela fórmula 8:
E, tendo:
Substituindo na equação anterior:
Passo 2
Então já sabemos o que precisamos calcular, o valor da derivada de :
Substituindo esse valor na fórmula da área de superfície encontrada no passo 1:
E, reescevendo a integral, temos:
Agora precisamos resolver essa integral, e ela sai fácil por substituição, fazendo , temos:
Passo 3
Agora, resolvendo a integral, temos:
E, finalmente, temos: