Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.2 - Ex. 44
A curva com equações paramétricas:
é denominada senoide e é exibida na figura a seguir. Encontre o ponto (, ) em que o coeficiente angular da reta tangente é:
a. o maior
b. o menor
Passo 1
Oi galerinha, vem comigo!
Quando varia, o ponto varia e traça a curva , que é chamada de curva parametrizada. Essa curva parametrizada é derivável em se e forem deriváveis em . Então as derivadas , e estão relacionadas pela Regra da Cadeia:
Se as três derivadas existem e , o coeficiente angular da curva em é:
Do enunciado temos os seguintes dados:
Então, primeiramente iremos calcular as derivadas de e :
Sendo assim o coeficiente angular da reta é:
Passo 2
Para encontrarmos e classificarmos os extremos globais da função:
E sabemos que o intervalo é restrito em:
Para encontrar os valores críticos iremos derivá-la e igualar a zero, obtendo:
Resolvendo, descobrimos pontos críticos de :
Substituindo esses valores na equação que descobrimos dos coeficientes angulares:
Então sabemos que é o ponto menor e é o ponto maior.
Passo 3
Por fim, precisamos encontrar os valores de e , para esses valores:
- Maior coeficiente angular
- Menor coeficiente angular
O ponto é .
O ponto é .
Resposta
- .
- .
.
.
