Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.2 - Ex. 48

Volume. Encontre o volume percorrido pelo giro da região limitada pelo eixo x e um arco da cicloide:

em torno do eixo x .

Passo 1

Oi galerinha, vem comigo!

Quando ocorre um giro em uma região, temos o sólido deste volume, e sabemos que a equação do volume de um sólido pelo eixo x :

V = π ∫ a b f x 2 d x = π ∫ a b y 2 d x = V = π ∫ a b g t 2 ∙ f ' t d t

Sendo assim, com os valores dado no enunciado, temos:

y = 1 - cos ⁡ t

d x = 1 - cos ⁡ t

Além disso, sabemos que o arco da cicloide é dado por 0 ≤ t ≤ 2 π . Substituindo na equação do volume, temos:

V = π ∫ 0 2 π [ 1 - cos ⁡ t 2 1 - cos ⁡ t ]   d t =   π ∫ 0 2 π 1 - cos ⁡ t 3 d t

Rearranjando essa integral:

V =   π ∫ 0 2 π - cos 3 ⁡ t + 3 cos 2 ⁡ t - 3 cos ⁡ t + 1 d t

Para facilitar a resolução dessa integral, vamos separá-la:

V =   - π ∫ 0 2 π cos 3 ⁡ t d t + 3 π ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ t d t - 3 π ∫ 0 2 π cos ⁡ t d t + π ∫ 0 2 π 1 d t

Passo 2

Sabemos que:

∫ cos m ⁡ t d t = sen ⁡ t ∙ cos m - 1 ⁡ t m + m - 1 m ∫ cos - 2 + m ⁡ t d t

Então, quando consideramos m = 3 , temos:

- π ∫ cos 3 ⁡ t d t = - π ∙ sen ⁡ t ∙ cos 2 ⁡ t 3 + 2 3 ∫ cos ⁡ t d t

= - π 3 sen ⁡ t ∙ cos 2 ⁡ t - 2 π 3 ∫ cos ⁡ t d t

E para m = 2 :

3 π ∫ cos 2 ⁡ t d t = 3 π ∙ sen ⁡ t ∙ cos ⁡ t 2 + 1 2 ∫ cos 0 ⁡ t d t

= 3 π 2 sen ⁡ t ∙ cos ⁡ t + 3 π 2 ∫ 1 d t

Passo 3

Substituindo o que encontramos na equação do volume que descobrimos lá no Passo 1:

V =   - π ∫ 0 2 π cos 3 ⁡ t d t + 3 π ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ t d t - 3 π ∫ 0 2 π cos ⁡ t d t + π ∫ 0 2 π 1 d t

=   - π 3 sen ⁡ t ∙ cos 2 ⁡ t - 2 π 3 ∫ cos ⁡ t d t + 3 π 2 sen ⁡ t ∙ cos ⁡ t + 3 π 2 ∫ 1 d t - 3 π ∫ 0 2 π cos ⁡ t d t + π ∫ 0 2 π 1 d t

=   - π 3 sen ⁡ t ∙ cos 2 ⁡ t + 3 π 2 sen ⁡ t ∙ cos ⁡ t - 3 π ∫ 0 2 π cos ⁡ t d t - 2 π 3 ∫ cos ⁡ t d t + π ∫ 0 2 π 1 d t + 3 π 2 ∫ 1 d t

=   - π 3 sen ⁡ t ∙ cos 2 ⁡ t + 3 π 2 sen ⁡ t ∙ cos ⁡ t - 11 π 3 ∫ 0 2 π cos ⁡ t d t + 5 π 2 ∫ 0 2 π 1 d t

Resolvendo as integrais restantes, temos:

=   - π 3 sen ⁡ t ∙ cos 2 ⁡ t + 3 π 2 sen ⁡ t ∙ cos ⁡ t - 11 π 3 sen ⁡ t + 5 π 2 t 0 2 π

Substituindo a região delimitada na equação, obtemos:

V = 5 π 2

Ufa, acabamos esse exercício. Até mais galerinha!

Resposta

V = 5 π 2 .

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre as áreas das regiões nos Exercícios 9-18Dentro do círculo r = 4 cos ⁡ θ e à direita da reta vertical r = s e cθ .
Encontre as áreas das regiões nos Exercícios 1-8Dentro de uma folha da rosa de quatro pétalas r = cos ⁡ 2 θ .
Encontre as áreas das regiões nos Exercícios 9-18Dentro do círculo r = 3 a cos ⁡ θ e fora da cardioide r = a 1 + cos ⁡ θ ,a0 .
Encontre as áreas das regiões nos Exercícios 9-18Dividida pelos círculos r = 2 cos ⁡ θ e r = 2 sen ⁡ θ .
Encontre as áreas das regiões nos Exercícios 9-18Dividida pelas cardioides r = 2 ( 1 + cos ⁡ θ ) e r = 2 ( 1 - cos ⁡ θ ) .