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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.5 - Ex. 11

Encontre as áreas das regiões nos Exercícios 9-18

Dividida pelo círculo r = 2 e pela cardioide r = 2 ( 1 - cos ⁡ θ ) .

Passo 1

Fala gente tudo bem? Exercício super direto de aplicação, primeiro vamos encontrar a figura a partir do geogebra para entender do que se trata e delimitar os limites e depois, só precisamos botar na fórmula do calculo da área a partir da integral.

A = ∫ β α 1 2 ( r 2 ) d θ

Essa é a nossa figura:

Portanto, os limites da intersecção são de 0 a π / 2 , pois quando os r são iguais, ou seja, 2 = 2 1 - c o s   θ , além disso pela questão da simetria devemos multiplicar por 2 e soma a metade de meia circunferência:

A = 2 ∫ 0 π / 2 1 2 2 1 - cos ⁡ θ 2 d θ + 1 2 π ⋅ 2 2 = ∫ 0 π 2 4 1 - 2 cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ d θ + 1 2 π ⋅ 4

A = ∫ 0 π 2 4 1 - 2 cos ⁡ θ + 1 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ + 2 π = ∫ 0 π 2 4 - 8 cos ⁡ θ + 2 + 2 cos ⁡ 2 θ d θ + 2 π

A = ∫ 0 π 2 6 d θ - ∫ 0 π 2 8 c o s   θ d θ + ∫ 0 π 2 2 cos ⁡ 2 θ d θ + 2 π

A = 6 θ - 8 s e n   θ + s e n   2 θ 0 π 2 + 2 π = 3 π - 8 + 0 + 2 π

A = 5 π - 8

Bora para a próxima!

Resposta

A = 5 π - 8

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