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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.5 - Ex. 23

Encontre os comprimentos das curvas nos exercícios 21-28.

A cardioide r = 1 + cos ⁡ θ .

Passo 1

Fala gente tudo bem? Exercício super direto, basta aplicarmos na formula do comprimento de uma curva polar:

L = ∫ α β r 2 + d r d θ 2 d θ

Vamos começar encontrando a derivada de r

d r d θ = d d θ 1 + cos ⁡ θ = - s e n   θ

Passo 2

Agora só aplicar na fórmula, sabemos que os limites da cardioide são de 0 a 2 π , porem vamos trabalhar apenas com metade da cardioide e multiplicar o comprimento por 2 para não termos problemas futuros, bora:

L = ∫ 0 2 π 1 + cos ⁡ θ 2 + - s e n   θ 2 d θ

L = 2 ∫ 0 π 1 + 2 cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ + s e n 2   θ   d θ

L = 2 ∫ 0 π 1 + 2 cos ⁡ θ + ( 1 - s e n 2   θ ) + s e n 2   θ   d θ

L = 2 ∫ 0 π 2 + 2 cos ⁡ θ   d θ = 2 ∫ 0 π 4 1 + cos ⁡ θ 2   d θ

Das relações trigonométricas 1 + cos ⁡ θ 2 = cos ⁡ θ 2

L = 4 ∫ 0 π cos ⁡ θ 2 d θ

L = 4 2 s e n θ 2 0 π

L = 8

Bora pra próximo.

Resposta

L = 8

Exercícios de Livros Relacionados

Trace a curva com uma ferramenta gráfica e calcule a área limitada por ela r = 2 sen ⁡ θ + 3 sen ⁡ 9 θ
Esboce a curva e calcule a área limitada por ela r 2 = 4 cos ⁡ 2 θ
Esboce a curva e calcule a área limitada por ela r = 2 cos ⁡ 3 θ
Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva. r = 2 cos ⁡ θ r = 1
Esboce a curva e calcule a área limitada por ela r = 3 ( 1 + cos ⁡ θ )