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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.5 - Ex. 10

Encontre as áreas das regiões nos Exercícios 9-18

Dividida pelos círculos r = 1 e r = 2 sen ⁡ θ .

Passo 1

Fala gente tudo bem? Exercício super direto de aplicação, primeiro vamos encontrar a figura a partir do geogebra para entender do que se trata e delimitar os limites e depois, só precisamos botar na fórmula do calculo da área a partir da integral.

A = ∫ β α 1 2 ( r a 2 - r b 2 ) d θ

Essa é a nossa figura:

Portanto, os limites da intersecção são de π 6 a 5 π / 6 , visto que as circunferências se encontram quando os r são iguais, ou seja, 1 = 2 s e n   θ , além disso devemos retirar essa área do círculo de raio 1:

A = π ⋅ 1 2 - ∫ π / 6 5 π / 6 1 2 2 sen ⁡ θ 2 - 1 2 d θ = π - ∫ π / 6 5 π / 6 2 s e n 2   θ - 1 2 d θ

A = π - ∫ π 6 5 π 6 1 - cos ⁡ 2 θ - 1 2 d θ = π - ∫ π / 6 5 π / 6 1 2 - cos ⁡ 2 θ d θ

A = π - ∫ π 6 5 π 6 1 2 d θ - ∫ π 6 5 π 6 cos ⁡ 2 θ d θ

A = π - θ 2 - s e n   2 θ 2 π 6 5 π 6 = π - 5 π 12 - 1 2 s e n 5 π 3 + π 12 - 1 2 s e n π 3

A = 4 π - 3 3 3

Bora para a próxima!

Resposta

A = 4 π - 3 3 3

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