Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre sua soma.

2 + 0,5 + 0,125 + 0,03125 + ...

Passo 1

Fala galeraaaa! Assim como nas questões anteriores, aqui queremos:

  1. Determinar se a série geométrica é convergente ou divergente;
  2. Se for convergente, encontrar sua soma.

Beleza?

Passo 2

O enunciado nos diz que estamos trabalhando com uma progressão geométrica:

2 + 0,5 + 0,125 + 0,03125 + …

Para encontramos a razão de PGs basta a gente dividir o segundo termo pelo primeiro! Vamos chamar de q a razão dessa PG. Assim,

q = a 2 a 1

Como o primeiro termo a 1 = 2   e o segundo termo a 2 = 0,5 , substituindo os valores, temos:

q = 0,5 2 = 1 4

Uma PG é considerada convergente quando - 1 < q < 1 e é dita divergente quando não é convergente. Como q < 1 , temos uma série convergente!

Passo 3

Vamos agora calcular a soma dessa série. Para uma séria infinita, temos a seguinte expressão para a soma:

S = a 1 1 - q

Substituindo os valores, temos:

S = 2 1 - 1 4 = 2 3 4

Portanto, a soma é

S = 8 3

Show de bola?

Resposta

A série é convergente e converge para 8 / 3 !

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