Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.7 - Ex. 1
Uma curva tem por equação
a) Escreva uma expressão para a inclinação da reta secante pelos pontos:
b) Escreva uma expressão para a inclinação da reta tangente em
Passo 1
Opa! Bora lá! Essa questão nos fala de uma curva genérica, que não conhecemos a função.
E pede, na letra (a) pra a gente escrever uma expressão para a inclinação da reta secante pelos pontos:
Bom, uma reta é dada pela equação
Em que é um ponto qualquer e é o coeficiente angular da reta
Pra isso, precisamos de 2 pontos e isso nós já temos!
No item b, precisamos de uma coisa parecida, mas em vez de calcular uma reta que passa por 2 pontos da curva, queremos uma reta que passa por apenas 1 ponto da curva. Como você acha que podemos levar um caso até o outro?
A variável aqui é uma das coordenada do ponto . E a diferença é a distância horizontal entre e . Se a gente fizer o limite dessa distância tendendo a zero, vamos chegar no caso em que os 2 pontos são o mesmo, e vai ser como se a nossa secante fosse uma tangente.
Calma! Vai ficar mais claro em breve!
Passo 2
Uma reta secante é uma linha reta que conecta dois pontos em uma curva, então uma reta secante através de e pode ser simplesmente representada pela equação da linha que contém ambos os pontos. A inclinação é dada por .
Então é só calcular a inclinação da linha que passa pelos dois pontos, então:
Na nossa nomenclatura:
Nos pontos e
Passo 3
Agora, na letra (b) a gente quer uma expressão para a inclinação da reta tangente em .
Lembra do que falamos no passo 1? Se a gente fizer o limite da distância tendendo a zero, vamos chegar no caso em que os 2 pontos da secante são o mesmo ponto, e vai ser como se a nossa secante fosse uma tangente.
Quando , temos que .
Então:
Agora nosso ponto misterioso tá beeem pertinho de , e a distância deles tende a zero. E a reta só cruza a curva em um único ponto.
Prontinho! É só isso!