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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.16 - Ex. 13

Sejam A e B os pontos em que o o gráfico de f x = x 2 - α x , α real, intercepta o eixo x . Determine α para que as retas tangentes ao gráfico de f em A e em B , sejam perpendiculares.

Passo 1

Primeiramente, vamos achar os pontos A e B .

Se nesses pontos f intercepta o eixo x , o valor de y é zero, portanto:

x 2 - α x = 0

x x - α = 0

x = 0

Ou

x = α

Assim, podemos definir os pontos A e B , como 0,0 e α , 0 .

Passo 2

As retas tangentes possuem o coeficiente angular igual à derivada da função no seu ponto de tangência, e para termos retas perpendiculares, o produto desses coeficientes deve ser igual a - 1 , ou seja:

f ' 0 ⋅ f ' α = - 1

Se a derivada de f é dada por f ' x = 2 x - α , temos:

f ' 0 ⋅ f ' α = - 1

2 ⋅ 0 - α ⋅ 2 ⋅ α - α = - 1

- α α = - 1

α 2 = 1

α = ± 1

Logo, para que as retas tangentes sejam perpendiculares temos os valores α = 1 ou α = - 1 .

Resposta

Para que as retas tangentes sejam perpendiculares temos os valores α = 1 ou α = - 1 .

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