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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.16 - Ex. 7

Sabe-se que r é uma reta que passa pela origem e que é tangente ao gráfico de f x = x 3 + 2 x 2 - 3 x . Determine r .

Passo 1

Vamos chamar de a , f a o ponto de tangência.

Temos que f ' x = 3 x 2 + 4 x - 3 , então, f ' a = 3 a 2 + 4 a - 3

A equação da reta tangente r então é dada pela fórmula: y - f a = f ' a x - a

Como r passa pela origem, 0,0 satisfaz a equação da reta. Logo:

0 - f a = f ' a 0 - a

- f a = - a f ' a

f a = a f ' a

a 3 + 2 a 2 - 3 a = a 3 a 2 + 4 a - 3

Se tivermos a = 0 , temos uma solução, mas também, para a ≠ 0 :

a 2 + 2 a - 3 = 3 a 2 + 4 a - 3

a 2 + 2 a = 3 a 2 + 4 a

a + 2 = 3 a + 4

3 a - a = 2 - 4

2 a = - 2

a = - 1

Então, temos dois possíveis valores para a , o que significa duas possíveis equações para r .

Para a = 0 temos f a = f 0 = 0 3 + 2 0 2 - 3 0 = 0 e f ' 0 = 3 0 2 + 4 0 - 3 = 0

Logo:

y - f a = f ' a x - a

y - 0 = - 3 x - 0

y = - 3 x

Passo 2

Para a = - 1 temos

f a = f - 1 = - 1 3 + 2 - 1 2 - 3 - 1 = 0

f - 1 = - 1 + 2 + 3 = 4

f - 1 = 4

e

f ' - 1 = 3 - 1 2 + 4 - 1 - 3 = 3 - 4 - 3

f ' - 1 = - 4

Logo:

y - f a = f ' a x - a

y - 4 = - 4 x + 1

y - 4 = - 4 x - 4

y = - 4 x

Portanto, as possíveis equações para r são y = - 3 x ou y = - 4 x .

Resposta

r pode ser dada por y = - 3 x ou y = - 4 x .

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