Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 13.2 - Ex. 33
As curvas e se interceptam na origem. Determine o ângulo de intersecção destas com precisão de um grau.
Passo 1
Primeiramente vamos entender o que o exercício pede.
O enunciado nos diz para determinar o ângulo de intersecção das curvas e , sendo:
E
A grande sacada para resolver esse problema é a seguinte: o ângulo de intersecção das curvas é, na verdade, o ângulo formado entre os seus vetores tangentes no ponto de intersecção, ou seja, na origem.
E esse ângulo pode ser obtido partindo-se da fórmula do produto escalar entre os vetores!!
O primeiro passo é descobrir o valor do parâmetro na origem O segundo passo é calcular as derivadas das curvas, que representam a equação geral do vetor tangente à cada uma delas.
Além disso, sabemos que o produto escalar também pode ser dado pela seguinte fórmula:
Então basta seguirmos esses passos, que no final iremos encontrar o valor de .
Passo 2
Temos
Logo,
Pois ele satisfaz todas aquelas igualdades.
O segundo passo é calcular as derivadas das curvas, que representam a equação geral do vetor tangente à cada uma delas.
No ponto de intersecção os vetores tangentes são dados por
Passo 3
Agora que temos os vetores tangentes vamos calcular o produto escalar entre eles:
Além disso, sabemos que o produto escalar também pode ser dado pela seguinte fórmula:
Sendo o ângulo entre os vetores.
Isolando o termo temos
Passo 4
Agora, substituindo os valores na equação obtida no final do Passo 3, obtemos:
O ângulo é dado então por