Enunciado

As curvas r 1 ( t ) = ( t ,   t 2 , t 3 ) e r 2 t = ( s e n   t ,   s e n   2 t ,   t ) se interceptam na origem. Determine o ângulo de intersecção destas com precisão de um grau.

Passo 1

Primeiramente vamos entender o que o exercício pede.

O enunciado nos diz para determinar o ângulo de intersecção das curvas r 1 t e r 2 ( t ) , sendo:

r 1 t = t ,   t 2 , t 3

E

r 2 t = ( s e n   t ,   s e n   2 t ,   t )

A grande sacada para resolver esse problema é a seguinte: o ângulo de intersecção das curvas é, na verdade, o ângulo formado entre os seus vetores tangentes no ponto de intersecção, ou seja, na origem.

E esse ângulo pode ser obtido partindo-se da fórmula do produto escalar entre os vetores!!

O primeiro passo é descobrir o valor do parâmetro t na origem O   ( 0 ,   0 ,   0 ) . O segundo passo é calcular as derivadas das curvas, que representam a equação geral do vetor tangente à cada uma delas.

Além disso, sabemos que o produto escalar também pode ser dado pela seguinte fórmula:

r 1 ' t ⋅ r 2 ' t = r 1 ' t r 2 ' t cos ⁡ θ

Então basta seguirmos esses passos, que no final iremos encontrar o valor de θ .

Passo 2

Temos

t ,   t 2 , t 3 = s e n   t ,   s e n   2 t ,   t = ( 0 ,   0 ,   0 )

Logo,

t = 0

Pois ele satisfaz todas aquelas igualdades.

O segundo passo é calcular as derivadas das curvas, que representam a equação geral do vetor tangente à cada uma delas. r 1 t = t ,   t 2 , t 3

r 1 ' t = ( 1 ,   2 t ,   3 t 2 )

r 2 t = ( s e n   t ,   s e n   2 t ,   t )

r 2 ' t = ( cos ⁡ t , 2 cos ⁡ 2 t ,   1 )

No ponto de intersecção os vetores tangentes são dados por

r 1 ' 0 = ( 1 ,   0 ,   0 )

r 2 ' 0 = ( 1 ,   2 ,   1 )

Passo 3

Agora que temos os vetores tangentes vamos calcular o produto escalar entre eles:

r 1 ' 0 ⋅ r 2 ' 0 = 1 ,   0 ,   0 ⋅ 1 ,   2 ,   1 = 1

Além disso, sabemos que o produto escalar também pode ser dado pela seguinte fórmula:

r 1 ' 0 ⋅ r 2 ' 0 = r 1 ' 0 r 2 ' 0 cos ⁡ θ

Sendo θ o ângulo entre os vetores.

Isolando o termo cos ⁡ θ temos

cos ⁡ θ = r 1 ' 0 ⋅ r 2 ' 0 r 1 ' 0 ⋅ r 2 ' 0

Passo 4

Agora, substituindo os valores na equação obtida no final do Passo 3, obtemos:

cos ⁡ �� = 1 1 2 + 0 + 0 1 2 + 2 2 + 1 2

cos ⁡ θ = 1 1 6

cos ⁡ θ = 1 6

O ângulo θ é dado então por

θ = arccos ⁡ 1 6 ≈ 66 °

Resposta

θ ≈ 66 °

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Dois gráficos, a e b , são mostrados. Um é a curva y = f ( x ) e o outro é o gráfico da função curvatura y = κ ( x ) . Identifique cada uma e justifique suas escolhas.
Use a Fórmula 11 para encontrar a curvatura. y = 4 x 5 / 2
Determine a equação da parábola que tenha curvatura 4 na origem.
Utilize uma calculadora gráfica ou um computador para traçar na mesma tela a curva e sua função curvatura κ ( x ) . Esse é o gráfico que você esperava? y = x 4 - 2 x 2
Utilize uma calculadora gráfica ou um computador para traçar na mesma tela a curva e sua função curvatura κ ( x ) . Esse é o gráfico que você esperava? y = x - 2