Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.7 - Ex. 20
Mostre que tem valores máximos em e valores mínimos em . Mostre também que tem infinitos outros pontos críticos e que em cada um deles. Quais deles dão origem a valores máximos? E a valores mínimos? E a pontos de sela?
Passo 1
Oie, vou te ajudar a resolver essa atividade.
Devemos inicialmente avaliar que a função:
Possui valores máximos nos pontos:
E seus valores mínimos são no ponto:
Para isso, precisamos fazer as derivadas parciais com relação à e e igualar os seus resultados a zero para encontrarmos os pontos críticos.
Em seguida, iremos fazer as segundas derivadas parciais e aplicar na seguinte expressão (chamada de teste da segunda derivada):
Com isso, a gente analisa as seguintes proposições:
- Se e , então é um mínimo local;
- Se e , então é um máximo local;
- Se , não é nem máximo e nem mínimo local.
Ai iremos avaliar se os pontos que nos fora dado, realmente condiz com o que o enuciado diz.
Passo 2
Primeiramente, vamos calcular as seguintes derivadas de :
Veja que devemos utilizar aqui a regra da cadeia e a regra do produto para derivadas:
Então aplicando:
Simplificando:
Agora a gente faz o mesmo para encontrar :
Iremos agora derivar novamente:
E vamos derivar em relação a :
E agora iremos derivar em relação a novamente:
Passo 3
Agora, repare que
Implica em:
, ou
Mas, se , então para qualquer valor de . Ou seja, existem infinitos pontos críticos da forma .
Analisando o caso , podemos verificar que
satisfaz , de forma que
e
são pontos críticos.
Passo 4
Beleza! Agora vamos fazer o Teste da Segunda Derivada para os pontos críticos:
Como , o teste é inconclusivo, mas repare que se , então
com igualdade somente quando , ou seja, temos mínimos locais:
Analogamente, se , teremos com igualdade somente quando , então temos máximos locais:
Além disso, é um ponto de sela.
Passo 5
Show! Agora, se fizermos o Teste da Segunda Derivada para os demais pontos críticos, encontraremos:
Ou seja, são máximos locais.
Ou seja, são mínimos locais.