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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.7 - Ex. 20

Mostre que f x ,   y = x 2 y e - x 2 - y 2 tem valores máximos em ± 1 , 1 2 e valores mínimos em ± 1 ,   - 1 2 . Mostre também que f tem infinitos outros pontos críticos e que D = 0 em cada um deles. Quais deles dão origem a valores máximos? E a valores mínimos? E a pontos de sela?

Passo 1

Oie, vou te ajudar a resolver essa atividade.

Devemos inicialmente avaliar que a função:

f x ,   y = x 2 y e - x 2 - y 2

Possui valores máximos nos pontos:

± 1 , 1 2

E seus valores mínimos são no ponto:

± 1 ,   - 1 2

Para isso, precisamos fazer as derivadas parciais com relação à x e y e igualar os seus resultados a zero para encontrarmos os pontos críticos.

Em seguida, iremos fazer as segundas derivadas parciais f x x ,   f x y ,   f y y e aplicar na seguinte expressão (chamada de teste da segunda derivada):

D x , y = f x x ⋅ f y y - f x y x , y 2

Com isso, a gente analisa as seguintes proposições:

  • Se D > 0 e f x x x , y > 0 , então f x , y é um mínimo local;
  • Se D > 0 e f x x x , y < 0 , então f x , y é um máximo local;
  • Se D < 0 , não é nem máximo e nem mínimo local.

Ai iremos avaliar se os pontos que nos fora dado, realmente condiz com o que o enuciado diz.

Passo 2

Primeiramente, vamos calcular as seguintes derivadas de f x ,   y = x 2 y e - x 2 - y 2 :

Veja que devemos utilizar aqui a regra da cadeia e a regra do produto para derivadas:

f ⋅ g ' = f ' ⋅ g + f ⋅ g '

Então aplicando:

f x = 2 x y e - x 2 - y 2 + x 2 y e - x 2 - y 2 ⋅   - 2 x

Simplificando:

f x = 2 x y ( 1 - x 2 ) e - x 2 - y 2

Agora a gente faz o mesmo para encontrar f y :

f y = x 2 e - x 2 - y 2 + x 2 y e - x 2 - y 2   ⋅ - 2 y

f y = x 2 ( 1 - 2 y 2 ) e - x 2 - y 2

Iremos agora derivar f x novamente:

f x x = 2 y ( 2 x 4 - 5 x 2 + 1 ) e - x 2 - y 2

E vamos derivar f x em relação a y :

f x y = 2 x ( 1 - x 2 ) ( 1 - 2 y 2 ) e - x 2 - y 2

E agora iremos derivar f Y em relação a y novamente:

f y y = 2 x 2 y ( 2 y 2 - 3 ) e - x 2 - y 2

Passo 3

Agora, repare que

f x = 0

Implica em:

x = 0 , y = 0 ou x = ± 1

Mas, se x = 0 , então f y = 0 para qualquer valor de y . Ou seja, existem infinitos pontos críticos da forma 0 ,   y .

Analisando o caso x = ± 1 , podemos verificar que

y = ± 1 2

satisfaz f y = 0 , de forma que

± 1 , 1 2 e ± 1 ,   - 1 2

são pontos críticos.

Passo 4

Beleza! Agora vamos fazer o Teste da Segunda Derivada para os pontos críticos:

D 0 , y = f x x 0 , y   f y y 0 , y - f x y 0 , y 2

D 0 , y = 2 y e - y 2 ⋅   0 - 0 2 = 0

Como D = 0 , o teste é inconclusivo, mas repare que se y > 0 , então

f x ,   y = x 2 y e - x 2 - y 2 ≥ 0

com igualdade somente quando x = 0 , ou seja, temos mínimos locais:

f 0 ,   y = 0   ,       y > 0

Analogamente, se y < 0 , teremos f x ,   y ≤ 0 com igualdade somente quando x = 0 , então temos máximos locais:

f 0 ,   y = 0   ,       y < 0

Além disso, 0 ,   0 é um ponto de sela.

Passo 5

Show! Agora, se fizermos o Teste da Segunda Derivada para os demais pontos críticos, encontraremos:

D ± 1 , 1 2 = 8 e - 3 > 0   ,           f x x ± 1 , 1 2 = - 2 2 e - 3 2 < 0

Ou seja, f ± 1 , 1 2 são máximos locais.

D ± 1 , - 1 2 = 8 e - 3 > 0   ,           f x x ± 1 , - 1 2 = 2 2 e - 3 2 > 0

Ou seja, f ± 1 , - 1 2 são mínimos locais.

Resposta

M í n i m o s :                     0 ,   y   ,       y > 0

M á x i m o s :                     0 ,   y   ,       y < 0

P o n t o   d e   s e l a :                     0 ,   0

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Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e
Determine o ponto do plano x - y + z = 4 que está mais próximo do ponto 1,2 , 3 .
Selecione os candidatos a extremos locais, sendo f (x , y) = 2 x^2 + y^2 - 2 x y + x - y