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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.8 - Ex. 26

Um gerador de corrente contínua tem uma força eletromotriz de E volts e uma resistência interna r ohms, onde E   e   r são constantes. Se R ohms for a resistência externa, a resistência total será de ( r + R ) ohms e se P watts for a potencia, então P = E 2 R ( r + R ) ² . Mostre que a maior potência será consumida quando as resistências interna e externa forem iguais.

Passo 1

Queremos demonstrar que P vai ser máxima quando r = R . Vamos derivar P   em relação a R.

d P d R = 0 = E 2 r + R 2 - 2 E 2 R r + R r + R 4 E 2 r 2 + 2 r R + R 2 - 2 E 2 r R - 2 E 2 R 2 r + R 4 = 0 [ E 2 r 2 + 2 E 2 r R + E 2 R 2 - 2 E 2 r R - 2 E 2 R 2 ] r + R 4 = 0   E 2 r 2 - E 2 R 2 ( r + R ) 4 = 0  

Passo 2

Para a expressão ser igual a zero, o numerador tem que ser igual a zero. Logo:

E 2 r 2 - E 2 R 2 = 0 E 2 r 2 - R 2 = 0 r 2 - R 2 = 0 r 2 = R 2 r = R 2 r = ± R

A resistência não pode assumir negativos. Logo, a potência do gerador vai ser máxima quando r = R .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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