Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.3 - Ex. 33
O custo de produção de uma mercadoria é a menos por unidade numa cidade do que numa cidade , sendo a distância entre e supondo que o caminho de entrega da mercadoria seja uma linha reta e que o custo da entrega seja por unidade por quilômetro, ache a curva cujo ponto a mercadoria possa ser fornecida por ou por a um mesmo custo. (Sugestão: tome e em e respectivamente.)
Passo 1
Então galera, para encontrarmos a curva cujo ponto a mercadoria possa ser fornecida por ou por pelo mesmo preço, devemos encontrar funções que determinam o custo de até um ponto e de até esse mesmo ponto , não é mesmo? Ademais, a questão nos sugere escolhermos e em e respectivamente, então faremos isso! A quantia que representa o custo de entrega de uma unidade do ponto até o ponto é:
E de até o ponto é:
Aqui vale ressaltar que é o custo de entrega por unidade, assim como o enunciado nos informa. Ademais, essa expressão surge de um simples teorema de Pitágoras mesmo, galera! O que difere de é a distância oposta que se encontram uma em relação a outra e que, segundo o enunciado, a rota é mais barata.
Passo 2
Agora que encontramos as expressões que determinam o custo de até e de até , vamos iguala-las, uma vez que queremos uma função que faça com que as mercadorias possam ser fornecidas ao mesmo preço, independente da rota ou . Fazendo isso, teremos:
Abrindo esse produto notável, teremos:
Dividindo tudo por , teremos:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raíz, teremos:
Que é a curva que procurávamos!