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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 8.Hipérbole - Ex. 24

Determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.

Vértices A ± 3,0 e equações das assíntotas y = ± 2 x

Passo 1

Vamos lá, temos que a hipérbole possuem os seguintes elementos:

  • Dois focos, F 1 e F 2 , que possui uma distância focal de 2 c entre eles
  • Um centro C h , k que é o ponto médio do segmento dos focos F 1 F 2
  • Dois vértices, A 1 e A 2
  • O eixo real que é o segmento A 1 A 2 com comprimento 2 a
  • O eixo imaginário que é o segmento B 1 B 2 com comprimento 2 b

Aqui vemos que como os focos estão no eixo O x o real também está sobre O x , assim a equação vai ser da forma:

x - h 2 a 2 - y - k 2 b 2 = 1

Vamos então encontrar os valores a , b , k e h .

Passo 2

Pelas informações do enunciado temos que como os vértices são A ± 3,0 temos então a = 3 , o centro é C 0,0 e as equações das assíntotas são da forma:

y = m x

Como a equação da hipérbole é da forma x - h 2 a 2 - y - k 2 b 2 = 1 temos que m 1 = b a e m 2 = - b a , assim temos:

y = ± 2 x

m 1 = b a → 2 = b a → b = 2 a = 2 ⋅ 3 = 6

Pronto, vamos agora substituir os valores e temos a equação da hipérbole:

x - h 2 a 2 - y - k 2 b 2 = 1 → x - 0 2 3 2 - y - 0 2 6 2 = 1 → x 2 9 - y 2 36 = 1 → 4 x 2 - y 2 36 = 36 36 →

→ 4 x 2 - y 2 - 36 = 0

Passo 3

Vamos também encontrar os focos para montar o gráfico, como a distância do centro aos focos é o valor c , vamos encontrar ele usando a expressão:

c 2 = a 2 + b 2

Vamos então substituir os valores:

c 2 = a 2 + b 2 → c 2 = 3 2 + 6 2 → c 2 = 9 + 36 → c 2 = 45 → c = 45 = 3 5

Temos então que as coordenadas x deles são:

0 + 3 5 = 3 5

0 - 3 5 = - 3 5

E a y é constante e igual a 0 , assim os focos são F 1 3 5 , 0 e F 2 - 3 5 , 0 .

Passo 4

Agora vamos esboçar o gráfico usando a expressão da hipérbole que encontramos, 4 x 2 - y 2 - 36 = 0 :

Resposta

4 x 2 - y 2 - 36 = 0

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