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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 8.Hipérbole - Ex. 19

Determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.

Vértices A 0 , ± 2 , distância focal 2 11

Passo 1

Vamos lá, temos que a hipérbole possuem os seguintes elementos:

  • Dois focos, F 1 e F 2 , que possui uma distância focal de 2 c entre eles
  • Um centro C h , k que é o ponto médio do segmento dos focos F 1 F 2
  • Dois vértices, A 1 e A 2
  • O eixo real que é o segmento A 1 A 2 com comprimento 2 a
  • O eixo imaginário que é o segmento B 1 B 2 com comprimento 2 b

Aqui vemos que como o vértice está no eixo O y , assim temos que a equação da hipérbole é com eixo real sobre O y , assim vai ser da forma:

y - k 2 a 2 - x - h 2 b 2 = 1

Vamos então encontrar os valores a , b , k e h .

Passo 2

Pelas informações do enunciado temos que o centro é 0,0 e a distância focal tem medida 2 11 temos que:

2 c = 2 11 → c = 11

E como os vértices são A 0 , ± 2 o valor de a é a = 2 , para achar a equação da hipérbole precisamos encontrar b , e podemos usar a seguinte expressão:

c 2 = a 2 + b 2

Vamos então substituir os valores:

c 2 = a 2 + b 2 → 11 2 = 2 2 + b 2 → 11 = 4 + b 2 → b 2 = 7 → b = 7

Pronto, agora é só substituir na expressão e temos a equação da hipérbole:

y - k 2 a 2 - x - h 2 b 2 = 1 → y - 0 2 2 2 - x - 0 2 7 2 = 1 → y 2 4 - x 2 7 = 1 → 7 y 2 - 4 x 2 28 = 28 28 →

→ - 4 x 2 + 7 y 2 - 28 = 0

Passo 3

Vamos também encontrar os focos para montar o gráfico, temos então que como a distância do centro aos focos é o valor c = 11 , temos então que as coordenadas y deles são:

0 + 11 = 11

0 - 11 = - 11

E a x é constante e igual a 0 , assim os focos são F 1 0 , 11 e F 2 0 , - 11 .

Passo 4

Agora vamos esboçar o gráfico usando a expressão da hipérbole que encontramos, - 4 x 2 + 7 y 2 - 28 = 0 :

Resposta

- 4 x 2 + 7 y 2 - 28 = 0

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