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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.2 - Ex. 52

Suponha que uma função f seja diferenciável em x 0 e defina g x = f m x + b , onde m e b são constantes. Prove que, se x 1 é um ponto tal que m x 1 + b = x 0 , então g x é diferenciável em x 1 e g ' x 1 = m f ' x 0 .

Passo 1

Vamos lá, se f é diferenciável em x 0 e definindo g x = f m x + b , vamos então calcular o limite:

g ' x 1 = lim h → 0 ⁡ g x 1 + h - g x 1 h = lim h → 0 ⁡ f m x 1 + h + b - f m x 1 + b h =

= lim h → 0 ⁡ f m x 1 + h + b - f m x 1 + b h

Passo 2

Temos que:

m x 1 + b = x 0 → x 1 = x 0 - b m

Substituindo no limite:

lim h → 0 ⁡ f m x 1 + h + b - f m x 1 + b h = lim h → 0 ⁡ f m x 0 - b m + h + b - f m x 0 - b m + b h =

= lim h → 0 ⁡ f x 0 - b + m h + b - f x 0 - b + b h = lim h → 0 ⁡ f x 0 + m h - f x 0 h

Multiplicando o numerador e o denominador por m :

lim h → 0 ⁡ f x 0 + m h - f x 0 h = lim h → 0 ⁡ m f x 0 + m h - f x 0 m h =

= m lim h → 0 ⁡ f x 0 + m h - f x 0 m h = m f ' x 0

Pronto, chegamos que:

g ' x 1 = m f ' x 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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