Explique um parágrafo explicando o que significa uma função ser derivável. Inclua exemplos de funções que não sejam deriváveis, bem como exemplos de funções que sejam deriváveis.

Passo 1

Uma função f é derivável em x 0 , sendo x 0 parte do domínio de f , se existir f ' x 0 , ou seja, se existir derivada nesse ponto.

Geometricamente falando, uma função f é diferenciável em x 0 se o gráfico de f possuir uma reta tangente em x 0 .

Passo 2

Como uma função não derivável podemos citar:

f x = x

Veja o gráfico da função abaixo:

Ela é contínua em x = 0 , pois existe f 0 = 0 , porém não é diferenciável nesse ponto, pois aí temos um bico, não podemos encontrar uma reta tangente nesse ponto.

Passo 3

Já um exemplo de funções que sejam deriváveis temos:

f x = x 2 + 1 ,       x ≤ 1 2 x ,       x > 1

Vamos ver o gráfico da função abaixo:

Vamos agora provar que é diferenciável, vamos calcular o limite no ponto x = 1 tanto pela direita quanto pela esquerda, e os dois valores devem ser iguais para ela ser diferenciável:

Vamos então aplicar para direita:

lim h → 0 ⁺ ⁡ f 1 + h - f 1 h = lim h → 0 ⁺ ⁡ 2 1 + h - 2 ⋅ 1 h

Agora vamos manipular o limite:

lim h → 0 ⁺ ⁡ 2 1 + h - 2 ⋅ 1 h = lim h → 0 ⁺ ⁡ 2 + 2 h - 2 h = lim h → 0 ⁺ ⁡ 2 h h

E por último vamos cancelar o termo h do numerador e do denominador e vamos aplicar o limite:

lim h → 0 ⁺ ⁡ 2 h h = lim h → 0 ⁺ ⁡ 2 = 2

Passo 4

Agora vamos aplicar para esquerda:

lim h → 0 ⁻ ⁡ f 1 + h - f 1 h = lim h → 0 ⁻ ⁡ 1 + h 2 + 1 - 1 2 + 1 h

Agora vamos manipular o limite:

lim h → 0 ⁻ ⁡ 1 + h 2 + 1 - 1 2 + 1 h = lim h → 0 ⁻ ⁡ 1 + 2 h + h 2 + 1 - 2 h = lim h → 0 ⁻ ⁡ 2 h + h 2 h

E por último vamos cancelar o termo h do numerador e do denominador e vamos aplicar o limite:

lim h → 0 ⁻ ⁡ 2 h + h 2 h = lim h → 0 ⁻ ⁡ 2 + h = 2

Assim temos que f ' 1 = 2 , então a função é diferenciável.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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