Enunciado

32. Dada f x = [ x ] , ache f ´ ( x 1 ) se x 1 não for inteiro. Prove aplicando o Teorema 3.2.1, que f ´ x 1   não existe se x 1 for inteiro. Se x 1 for inteiro, o que poderá ser dito sobre f ´ - x 1   e   f ´ + ( x 1 ) ?

Passo 1

Ao observar o enunciado percebemos que eles nos pede uma série de coisas, basta resolver uma etapa de cada vez utilizando-se de todos os conceitos já vistos nas questões anteriores, bem como de algumas sacadas quanto à afirmações feitas no enunciado.

De início, ele nos pede para encontrarmos a primeira derivada de f em x1, para isso devemos utilizar uma das definições de derivadas.

Após, ele pede para provarmos que a primeira derivada de f em x1 não existe caso x1 seja um número inteiro, para isso utiliza-se do conceito de continuidade de funções.

Por fim, ele pede para analisarmos as derivadas primeira à esquerda e à direita de x1, ou seja , oque poderá ser dito seria como se fizéssemos uma análise em ambas.

Passo 2

Se x1 não é inteiro, então existe um inteiro N tal que N

Logo, se x1 não for inteiro temos que .

Passo 3

Nota: tome x0 = x1;

Para determinar se f(x) é continua em um ponto deve-se atender a 3 pré-requisitos, ou seja , para uma função ser continua em x0:

f(x0) tem que existir;

  1. tem que existir;
  2. .

Assim, deve-se verificar cada um dos itens ácima para dizer se f(x) é continua em x0.

Passo 4

Sabemos que f ( x1 ) existe, com isso a primeira das condições para que seja contínua é aceita.

Passo 5

Agora, devemos verificar a segunda condição.

Para verificar que um limite existe devemos lembrar do conceito de limites laterais, ou seja , .

Assim, temos que se x1 for inteiro :

Com isso podemos afimar que não existe. Assim, uma das condições para que f seja contínua já não foi aceita. Logo, podemos afirmar que f não é contínua em x1.

Portanto, o teorema 3.2.1 diz que se uma função for derivável em x1 ela é contínua em x1, como descobrimos que f não é contínua em x1 podemos afirmar que f não é derivável em x1, ou seja, .

Passo 6

A derivada à esquerda de f em x1, denotada por f’ - (x1), será definda por

A derivada à direita de f em x1, denotada por f’ + (x1), será definda por

Se x1 for inteiro, temos que

Logo, poderá ser dito que a derivada primeira à esquerda de x1 não existe e que a derivada primeira à direita de x1 é igual a 0. A partir disso também podemos afirmar, se x1 for inteiro, que a derivada primeira em x1 não existe.

Resposta

Demonstração.

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Explique a relação entre continuidade e derivabilidade.
Mostre que f x = x 2 + 2 ,x ≤ 1 x + 2 ,x1 é contínua, mas não diferenciável em x = 1 . Esboce o gráfico de f .
Mostre que f x = x 2 sen ⁡ 1 x ,x ≠ 0 0 ,x = 0 é contínua e diferenciável em x = 0 . Esboce o gráfico de f na vizinhança de x = 0 .
Explique um parágrafo explicando o que significa uma função ser derivável. Inclua exemplos de funções que não sejam deriváveis, bem como exemplos de funções que sejam deriváveis.
Mostre que f x = x 2 + 1 ,x ≤ 1 2 x ,x1 é contínua e diferenciável em x = 1 . Esboce o gráfico de f .