32. Dada f(x) = [x] , ache f´(x1) se x₁ não for inteiro. Prove aplicando o Teorema 3.2.1, que f'(x₁) não existe se x₁ for inteiro. Se x₁ for inteiro, o que poderá ser dito sobre f'(-x1) e f'(x1) ?

Passo 1

Ao observar o enunciado percebemos que eles nos pede uma série de coisas, basta resolver uma etapa de cada vez utilizando-se de todos os conceitos já vistos nas questões anteriores, bem como de algumas sacadas quanto à afirmações feitas no enunciado.

De início, ele nos pede para encontrarmos a primeira derivada de f em x1, para isso devemos utilizar uma das definições de derivadas.

Após, ele pede para provarmos que a primeira derivada de f em x1 não existe caso x1 seja um número inteiro, para isso utiliza-se do conceito de continuidade de funções.

Por fim, ele pede para analisarmos as derivadas primeira à esquerda e à direita de x1, ou seja , oque poderá ser dito seria como se fizéssemos uma análise em ambas.

Passo 2

Se x1 não é inteiro, então existe um inteiro N tal que N

Logo, se x1 não for inteiro temos que .

Passo 3

Nota: tome x0 = x1;

Para determinar se f(x) é continua em um ponto deve-se atender a 3 pré-requisitos, ou seja , para uma função ser continua em x0:

f(x0) tem que existir;

  1. tem que existir;
  2. .

Assim, deve-se verificar cada um dos itens ácima para dizer se f(x) é continua em x0.

Passo 4

Sabemos que f ( x1 ) existe, com isso a primeira das condições para que seja contínua é aceita.

Passo 5

Agora, devemos verificar a segunda condição.

Para verificar que um limite existe devemos lembrar do conceito de limites laterais, ou seja , .

Assim, temos que se x1 for inteiro :

Com isso podemos afimar que não existe. Assim, uma das condições para que f seja contínua já não foi aceita. Logo, podemos afirmar que f não é contínua em x1.

Portanto, o teorema 3.2.1 diz que se uma função for derivável em x1 ela é contínua em x1, como descobrimos que f não é contínua em x1 podemos afirmar que f não é derivável em x1, ou seja, .

Passo 6

A derivada à esquerda de f em x1, denotada por f’ - (x1), será definda por

A derivada à direita de f em x1, denotada por f’ + (x1), será definda por

Se x1 for inteiro, temos que

Logo, poderá ser dito que a derivada primeira à esquerda de x1 não existe e que a derivada primeira à direita de x1 é igual a 0. A partir disso também podemos afirmar, se x1 for inteiro, que a derivada primeira em x1 não existe.

Resposta

Demonstração.

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