Enunciado

36. Seja f a função definida por

f x = g x - g a x - a ,     s e   x ≠ a g ´ ( a ) ,     x = a

Prove que se g ´ ( a ) existir, f será contínua em a.

Passo 1

Como do enunciado ele já me fala que g’(a) existe, tenho que mostrar apenas que f é contínua. Para determinar se f(x) é continua em um ponto deve-se atender a 3 pré-requisitos, ou seja , para uma função ser continua em x0:

  1. f(x0) tem que existir;
  2. tem que existir;

  3. .

Assim, deve-se verificar cada um dos itens ácima para dizer se f(x) é continua em x0.

Passo 2

Ao substituir x0 = a na função, percebemos que a expressão onde vamos substituir esse valor é a segunda função, pois a mesma está definida para x0 = a. Com isso temos que f ( a ) = g’ (a).

Passo 3

Para verificar que um limite existe devemos lembrar do conceito de limites laterais, ou seja , .

Assim, temos que :

Com isso podemos afimar que existe e é igual a g’(a).

Passo 4

Verificando a ultima condição , temos:

Com isso, como os 3 itens necessários foram atendidos; pode-se afirmar que f (x) é continua em x0 = a. Assim, percebemos que se uma função for derivável em x = a, consequentemente, ela é contínua em x = a. Porém, a recíproca não é verdadeira, ou seja , se ela for contínua em x = a nem sempre ela é derivável em x = a.

Resposta

Demonstração.

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