Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.2 - Ex. 36

36. Seja a função definida por

Prove que se existir, será contínua em a.

Passo 1

Como do enunciado ele já me fala que g’(a) existe, tenho que mostrar apenas que f é contínua. Para determinar se f(x) é continua em um ponto deve-se atender a 3 pré-requisitos, ou seja , para uma função ser continua em x0:

f(x0) tem que existir;

tem que existir;

Assim, deve-se verificar cada um dos itens ácima para dizer se f(x) é continua em x0.

Passo 2

Ao substituir x0 = a na função, percebemos que a expressão onde vamos substituir esse valor é a segunda função, pois a mesma está definida para x0 = a. Com isso temos que f ( a ) = g’ (a).

Passo 3

Para verificar que um limite existe devemos lembrar do conceito de limites laterais, ou seja , .

Assim, temos que :

Com isso podemos afimar que existe e é igual a g’(a).

Passo 4

Verificando a ultima condição , temos:

Com isso, como os 3 itens necessários foram atendidos; pode-se afirmar que f (x) é continua em x0 = a. Assim, percebemos que se uma função for derivável em x = a, consequentemente, ela é contínua em x = a. Porém, a recíproca não é verdadeira, ou seja , se ela for contínua em x = a nem sempre ela é derivável em x = a.