Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.2 - Ex. 47
Mostre que
é contínua e diferenciável em . Esboce o gráfico de .
Passo 1
Para mostrar que é contínua, devemos satisfazer as seguintes condições:
- está definida
- existe
Vamos ver se satisfaz as três condições.
Passo 2
Com a primeira temos:
Passo 3
Agora com a segunda vamos ver se o limite calculando os limites laterais, e o limite existe se:
Pela direita:
Agora pela esquerda:
Temos então que o limite existe e é igual a .
Passo 4
O passo anterior nos dá a terceira condição:
Assim a função é contínua.
Passo 5
Vamos agora ver se é diferenciável, vamos calcular tanto pela direita quanto pela esquerda, e os dois valores devem ser iguais para ela ser diferenciável:
Vamos então aplicar para direita:
Agora vamos manipular o limite:
E por último vamos cancelar o termo do numerador e do denominador e vamos aplicar o limite:
Passo 6
Agora vamos aplicar para esquerda:
Agora vamos manipular o limite:
E por último vamos cancelar o termo do numerador e do denominador e vamos aplicar o limite:
Assim temos que , então a função é diferenciável.
Passo 7
O esboço do gráfico de é:
Resposta
