Dada f(x) = 6 - x - x^3 . (a) No mesmo conjunto de eixos faça esboços dos gráficos das funções f e f^(-1) . (b) Ache a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (2, -4) . (c) Ache a inclinação da reta tangente ao gráfico de f^(-1) no ponto (-4,2) .

Passo 1

( a ) Sabemos que o gráfico de uma função cubica será uma curva, mas não sabemos a natureza dessa curva. Então vamos começar analisando a derivada de f x :

f x ' = - 1 - 3 x 2

Repare, com muito carinho, que f x ' será sempre negativa para qualquer x real, logo nossa curva deve ser sempre decrescente!!

Isso significa que nossa curva vem decrescendo desde + ∞ , passa próxima a origem dos eixos cartesianos e vai pra - ∞ . Sabendo que a curva também passa nos ponto A = 0 , 6 e B = ( 2 , - 4 ) , vamos esboçar!

Sabendo que o gráfico de   f - 1 é o reflexo do gráfico de f em relação a reta y = x , teremos que:

Onde f está em verde e f - 1 em azul.

Passo 2

( b ) Agora para descobrir a inclinação da reta tangente ao gráfico basta calcularmos f ' ( 2 ) :

f 2 ' = - 1 - 3 2 2

f 2 ' = 13

Passo 3

( c ) Agora, para calcular f - 1 ' - 4 devemos nos lembrar de que:

f - 1 ' d = 1 f ' ( c )

Onde f c = d

No nosso caso f 2 = - 4 , então:

f - 1 ' - 4 = 1 f ' ( 2 )

f - 1 ' - 4 = 1 13

Resposta

a

b f 2 ' = 13

( c )   f - 1 ' - 4 = 1 13

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