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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 8.2 - Ex. 1i

Determine a derivada.

i) y = x^2 e^(a r c t g 2 x)

Passo 1

Beleza, galera? Nessa questão nós vamos ter que usar duas coisas: regra do produto, para derivar esse produto de funções, e regra da cadeia, para desenvolver as derivadas das funções compostas, beleza? Vamos começar pela regra do produto, pra depois vermos o que vamos precisar derivar. A nossa derivada vai ficar assim:

y = x^2 e^(a r c t g 2 x)

(d y)/(d x) = ( x^2 ) ' e^(a r c t g 2 x) + x^2 (e^(a r c t g 2 x))^'

A derivada do x^2 é moleza, já podemos calcular!

(d y)/(d x) = 2 x e^(a r c t g 2 x) + x^2 (e^(a r c t g 2 x))^'

O que complicou aqui é o segundo termo, mas vem tranquilo!

Passo 2

Pra derivar essa função, vamos ter que usar a regra da cadeia, pois estamos fazendo composição da função exponencial com uma função trigonométrica inversa com uma função polinomial. Ufa, ficou confuso? Ficou nada, meu chapa! Vai com calma que dá tudo certo. A derivada da exponencial fica assim, ó:

(e^(f (x)))^' = e^(f (x)) * f ' ( x )

Então, no nosso caso,

(e^(a r c t g 2 x))^' = e^(a r c t g 2 x) (a r c t g 2 x)^'

Nós já calculamos a derivada de a r c t g em outras questões, então aqui vamos direto pro resultado:

[a r c t g (f (x))]^' = (1)/(1 + (f (x))^2) * f^' (x)

Então essa vai ficar:

(e^(a r c t g 2 x))^' = e^(a r c t g 2 x) * (1)/(1 + (2 x)^2) * (2 x)^'

(e^(a r c t g 2 x))^' = (2 e^(a r c t g 2 x))/(1 + 4 x^2)

Passo 3

Beleza, agora é só a gente substituir!

(d y)/(d x) = 2 x e^(a r c t g 2 x) + x^2 (e^(a r c t g 2 x))^'

(d y)/(d x) = 2 x e^(a r c t g 2 x) + x^2 (2 e^(a r c t g 2 x))/(1 + 4 x^2)

Desenvolvendo, e colocando 2 x e^(a r c t g 2 x) em evidência, vamos chegar na resposta!

(d y)/(d x) = 2 x e^(a r c t g 2 x) (1 + (x)/(1 + 4 x^2))

Resposta

(d y)/(d x) = 2 x e^(a r c t g 2 x) (1 + (x)/(1 + 4 x^2))

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