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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 8.2 - Ex. 1m

Determine a derivada.

m) f (x) = (e^(- x) a r c t g e^x)/(t g x)

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Nessa derivada vamos aplicar a regra do quociente, mas repara que o nosso numerador é uma multiplicação de duas duas funções, então também vamos ter que aplicar a regra do produto. Também vamos usar a regra da cadeia para resolver a parte a r c t g e^x .

Pela regra do quociente ficamos com,

f^' (x) = ((e^(- x) a r c t g e^x)^' t g x - e^(- x) a r c t g e^x (t g x)^')/((t g x)^2)

Acabou aparecendo a regra do produto no primeiro termo. Vamos desenvolver essa parte? Vai ser assim, ó:

f^' (x) = (( (e^(- x))^' a r c t g e^x + e^(- x) (a r c t g e^x)^' ) t g x - e^(- x) a r c t g e^x (t g x)^')/((t g x)^2)

Agora vamos lembrar de algumas derivadas! A função exponencial tem a seguinte derivada,

(e^(- x))^' = - e^(- x)

Já a função a r c t g tem essa derivada,

(a r c t g x)^' = (1)/(1 + x^2)

Por fim, a função tangente tem a seguinte derivada,

(t g x)^' = sec^2 x

Agora vamos juntar tudo!

Passo 2

Beleza, agora é só substituir essa parada toda na conta!

f^' (x) = (( (e^(- x))^' a r c t g e^x + e^(- x) (a r c t g e^x)^' ) t g x - e^(- x) a r c t g e^x (t g x)^')/((t g x)^2)

Substituindo,

f^' (x) = ((- e^x a r c t g e^x + e^(- x) ((e^x)/(1 + e^(2 x)))) t g x - e^(- x) a r c t g e^x sec^2 x)/((t g x)^2)

Arrumando o salão, chegamos em:

f^' (x) = ((- e^x a r c t g e^x + (1)/(1 + e^(2 x))) t g x - e^(- x) a r c t g e^x sec^2 x)/((t g x)^2)

Resposta

f^' (x) = ((- e^x a r c t g e^x + (1)/(1 + e^(2 x))) t g x - e^(- x) a r c t g e^x sec^2 x)/((t g x)^2)

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Determine a derivada.c) g ( x ) = a r c s e n ( x^3 )
Determine a derivada.e) y = 3 a r c t g (2 x + 3)
Determine a derivada.g) y = e^(3 x) a r c s e n ( 2 x )
Determine a derivada.b) f ( x ) = a r c s e n ( 3 x )