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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 29

29. Dada x 4 + y 4 = a 4 (a é uma constante), ache d 2 y d x 2 na forma mais simples.

Passo 1

Para acharmos o resultado dessa derivada de ordem 2 precisamos ter em mente duas coisas:

1 - Teremos que fazer 2 derivadas. Uma da função dada e uma da que conseguiremos através dela, pois a ordem da derivada nos dá essa informação.

2 – Teremos que isolar o y na equação dada para obter uma dependência em x e assim realizar as derivadas. Assim teremos:

y = a 4 - x 4 1 4

Passo 2

1ª Derivada: Usaremos a função que nos foi dada inicialmente.

d y d x = d d x a 4 - x 4 1 4

= 1 4 a 4 - x 4 - 3 4 ⋅ ( - 4 x 3 )

= - x 3 a 4 - x 4 - 3 4

Passo 3

2ª Derivada: Usaremos a função encontrada no final do Passo 2 dentro do nosso colchete.

d d x - x 3 a 4 - x 4 - 3 4 = d d x - x 3 ⋅ a 4 - x 4 - 3 4 + - x 3 ⋅ d d x a 4 - x 4 - 3 4

= - 3 x 2 a 4 - x 4 - 3 4 + - x 3 ⋅ - 3 4 a 4 - x 4 - 7 4 ⋅ - 4 x 3

= - 3 x 2 a 4 - x 4 - 3 4 - 3 x 6 a 4 - x 4 - 7 4

Passo 4

Para simplificar essa expressão ao máximo, teremos:

= - 3 x 2 a 4 - x 4 3 4 - 3 x 6 a 4 - x 4 7 4

Multiplicando o primeiro termo no numerador e no denominador por ( a 4 - x 4 ) :

= - 3 x 2 ⋅ ( a 4 - x 4 ) a 4 - x 4 3 4 ⋅ ( a 4 - x 4 ) - 3 x 6 a 4 - x 4 7 4

= - 3 x 2 a 4 - 3 x 6 a 4 - x 4 7 4 - 3 x 6 a 4 - x 4 7 4

= - 3 x 2 a 4 a 4 - x 4 7 4  

Passo 5

Como definimos anteriormente:

y = a 4 - x 4 1 4

Assim, ficamos com:

= - 3 x 2 a 4 y 7

Passo 6

Prontinho, fizemos as duas derivações necessárias. Agora para o resultado final é só igualar a derivada de ordem 2 dada no enunciado ao resultado da última derivada que fizemos.

d 2 y d x 2 = - 3 x 2 a 4 y 7

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Derive.f) y = e tan ⁡ x 2
Seja y = 4 x , onde x = x t é uma função derivável num intervalo aberto I . Suponha que, para todo t em I , x t ≠ 0 e d x d t = β , β constante. Verifique que d 2 y d t 2 = 8 β 2 x 3
Seja g: R → R diferenciável tal que g 1 = 2 e g ' 1 = 3 . Calcule f ' 0 , sendo f dada por f x = e x g 3 x + 1 .
Seja y = 1 x 2 + 1 , onde x = x t é uma função definida e derivável em R . Verifique que, para todo t real, d y d t = - 2 x y 2 d x d t
Determine α de modo que y = e α x verifique a equação d 2 y d x 2 - 4 y = 0 .