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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.4 - Ex. 4

Escreva a função composta na forma f g x . [Identifique a função de dentro u = g ( x ) e a de fora y = f ( u ) .] Então encontre a derivada d y d x .

y = t g   ( s e n   x   )  

Passo 1

Falaee, belezinha?? Bom... queremos encontrar a seguinte derivada:

y = t g   ( s e n   x   )  

Mas perceba que estamos tratando de derivar uma função composta na forma f g x .

Lembrando que a derivada de uma função composta é dada por:

d y d x = d d x f g x = f ' u × g ' x

Assim, queremos identificar na função composta quem é a função de dentro u = g ( x ) e a de fora y = f ( u ) para podermos encontrar a derivada em seguida.

E aí?? Bora lá?? 😉

Passo 2

Para auxiliar a identificação, temos o diagrama:

u = g x             →             f u = f g x

Então nessa função temos:

g ( x ) = s e n   x y = f u = t g   u

Beleza? Agora que identificamos cada função, vamos achar a derivada!

Passo 3

A derivada da função composta é:

d y d x = d d x   f g x = f ' u × g ' x ∴

d y d x = d d u u     .   d d x x ∴

d y d x = d d u t g   u   .   d d x   s e n   x ∴

d y d x = s e c 2 u   .   c o s   x  

E sendo u = s e n   x   então:

d y d x = s e c 2 s e n   x   .   c o s   x  

Prontinho! Conseguimos!

Resposta

g ( x ) = s e n   x y = f u = t g   u

d y d x = s e c 2 s e n   x   .   c o s   x

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