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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.4 - Ex. 3

Escreva a função composta na forma f g x . [Identifique a função de dentro u = g ( x ) e a de fora y = f ( u ) .] Então encontre a derivada d y / d x .

y = 1 - x 2 10

Passo 1

Falaee, belezinha?? Bom... queremos encontrar a seguinte derivada:

y = 1 - x 2 10

Mas perceba que estamos tratando de derivar uma função composta na forma f g x .

Lembrando que a derivada de uma função composta é dada por:

d y d x = d d x f g x = f ' u × g ' x

Assim, queremos identificar na função composta quem é a função de dentro u = g ( x ) e a de fora y = f ( u ) para podermos encontrar a derivada em seguida.

E aí?? Bora lá?? 😉

Passo 2

Para auxiliar a identificação, temos o diagrama:

x     → g           u = g x           → f           f u = f g x

Então

x     → g           u = g x = 1 - x 2           → f           f u = u 10

Logo, u = 1 - x 2 e y = u 10 .

Passo 3

A derivada da função composta é:

d y d x = d d x f g x = f ' u × g ' x ∴

d y d x = d d u u 10 × d d x 1 - x 2 ∴

d y d x = 10 u 9 × ( - 2 x )

Como u = 1 - x 2 então:

d y d x = - 20 x 1 - x 2 9

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

u = 1 - x 2 e y = u 10 .

d y d x = - 20 x 1 - x 2 9

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