Dada f(t) = ( |3 + t| - |t| - 3 ) / t , expresse f(t) sem as barras de valor absoluto, se t estiver no intervalo dado: [-3, 0]

Passo 1

Vamos analisar cada módulo separadamente e ver qual sinal deles devemos considerar de acordo com o intervalo dado. Lembre-se da definição de módulo:

t = t ,   s e   t ≥ 0 - t ,   s e   t < 0

E se temos t - a e a   ϵ   R .

t - a = t - a ,   s e   t ≥ a - t - a   ,   s e   t < a

Passo 2

Analisando o primeiro módulo: 3 + t

Vamos escrevê-lo da forma como temos acima:

3 + t = t - - 3

Agora sim! Jogando isso na definição de módulo:

t - ( - 3 ) = t - - 3 ,   s e   t ≥ - 3 - t - - 3   ,   s e   t < - 3

A questão nos diz para considerar o intervalo - 3 ≤ t < 0 . Então vamos usar a primeira linha do módulo, já que ele satisfaz a condição do intervalo. Ficamos então com:

3 + t = t - ( - 3 ) ) = t + 3

E substituindo na nossa função, já temos:

f t = 3 + t - t - 3 t

Passo 3

Agora para o 2º módulo:

t = t ,   s e   t ≥ 0 - t ,   s e   t < 0

Estamos no intervalo - 3 ≤ t < 0 , então vamos considerar o 2º caso do módulo, que vale para números negativos:

t = - t

Agora substituindo na função, temos a função resultante nesse intervalo:

f t = 3 + t - ( - t ) - 3 t

Simplificando:

f t = 2 t t

E temos a função que a questão quer!

f t = 2

Resposta

f t = 2

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