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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.10 - Ex. 17

Dada a funcao f (x , y) = (x)/(y) + x^2 + y^2 , com x (t) = r c o s t e y (t) = r s e n t , encontrar (del f)/(del r) e (del f)/(del t)

Passo 1

Nossa expressão do enunciado é da forma :

z (r , t) = f (x (r , t) , y (r , t))

Analisando a expressão acima, vemos que se trata do 2º caso da regra da cadeia, portanto

O primeiro termo que o enunciado nos pede é obtido se derivarmos em relação a r

(del z)/(del r) = (del f)/(del x) (del x)/(del r) + (del f)/(del y) (del y)/(del r)

Para calcularmos o outro termos, precisamos derivar em relação a t

(del z)/(del t) = (del f)/(del x) (del x)/(del t) + (del f)/(del y) (del y)/(del t)

Passo 2

Agora, vamos calcular cada derivada parcial :

(del f)/(del x) = (1)/(y) + 2 x

(del f)/(del y) = 2 y - (x)/(y^2)

(del x)/(del r) = c o s t

(del x)/(del t) = - r s e n t

(del y)/(del r) = s e n t

(del y)/(del t) = r c o s t

Passo 3

Substituindo nas nossas expressões

(del z)/(del r) = (del f)/(del x) (del x)/(del r) + (del f)/(del y) (del y)/(del r)

(del z)/(del r) = ((1)/(y) + 2 x) ( c o s t ) + (2 y - (x)/(y^2)) ( s e n t )

(del z)/(del t) = (del f)/(del x) (del x)/(del t) + (del f)/(del y) (del y)/(del t)

(del z)/(del t) = ((1)/(y) + 2 x) ( - r s e n t ) + (2 y - (x)/(y^2)) ( r c o s t )

Deixando tudo em função dos parâmetros r e t

(del z)/(del r) = ((1)/(r s e n t) + 2 r c o s t) (c o s t) + (2 r s e n t - (r c o s t)/((r s e n t)^2)) (s e n t)

(del z)/(del r) = ((c o s t)/(r s e n t) + 2 r c o s t^2) + (2 r s e n t^2 - (c o s t)/(r s e n t))

(del z)/(del r) = 2 r ( c o s t^2 + s e n t^2 ) = 2 r

(del z)/(del t) = ((1)/(r s e n t) + 2 r c o s t) (- r s e n t) + (2 r s e n t - (r c o s t)/((r s e n t)^2)) (r c o s t) = - csc^2 t

Resposta

(del z)/(del r) = 2 r

(del z)/(del t) = - csc^2 t

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