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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.10 - Ex. 19

Determinar as derivadas parciais ∂ z ∂ x   e   ∂ z ∂ y   , usando a regra da cadeia

z   = u v 2 + v ln ⁡ u   , u = 2 x - y   ,   v = 2 x + y

Passo 1

Nossa expressão do enunciado é da forma :

z x , y =   f u x , y , v x , y

Analisando a expressão acima, vemos que se trata do 2º caso da regra da cadeia, portanto

O primeiro termo que o enunciado nos pede é obtido se derivarmos em relação a x

∂ z ∂ x =   ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ x

Para calcularmos o outro termos, precisamos derivar em relação a y

∂ z ∂ y =   ∂ f ∂ u ∂ u ∂ y + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ y

Passo 2

Agora, vamos calcular cada derivada parcial :

∂ f ∂ u = v 2 + v u

∂ f ∂ v = 2 u v + ln ⁡ u

∂ u ∂ x = 2

∂ v ∂ x = 2

∂ u ∂ y = - 1

∂ v ∂ y =   1

Passo 3

Substituindo nas nossas expressões

∂ z ∂ x =   ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ x

∂ z ∂ x = ( v 2 + v u ) ( 2 ) + ( 2 u v + ln ⁡ u ) ( 2 )

∂ z ∂ y =   ∂ f ∂ u ∂ u ∂ y + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ y

∂ z ∂ y =   ( v 2 + v u ) ( - 1 ) + ( 2 u v + ln ⁡ u ) ( 1 )

Deixando tudo em função dos parâmetros x e y

∂ z ∂ x =   2 2 x + y 2 + 2 x + y 2 x - y + 2 2 x + y 2 x - y + ln ⁡ ( 2 x - y )

∂ z ∂ y =   - 2 x + y 2 + 2 x + y 2 x - y + 2 2 x + y 2 x - y + ln ⁡ ( 2 x - y )

Resposta

∂ z ∂ x =   2 2 x + y 2 + 2 x + y 2 x - y + 2 2 x + y 2 x - y + ln ⁡ ( 2 x - y )

∂ z ∂ y =   - 2 x + y 2 + 2 x + y 2 x - y + 2 2 x + y 2 x - y + ln ⁡ ( 2 x - y )

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