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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.10 - Ex. 18

Determinar as derivadas parciais ∂ z ∂ x   e   ∂ z ∂ y   , usando a regra da cadeia

z   = ( r 2 + s ) s   , r = 1 + x   ,   s = x + y

Passo 1

Nossa expressão do enunciado é da forma :

z x , y =   f r x , y , s x , y

Analisando a expressão acima, vemos que se trata do 2º caso da regra da cadeia, portanto

O primeiro termo que o enunciado nos pede é obtido se derivarmos em relação a x

∂ z ∂ x =   ∂ f ∂ r ∂ r ∂ x + ∂ f ∂ s ∂ s ∂ x

Para calcularmos o outro termos, precisamos derivar em relação a y

∂ z ∂ y =   ∂ f ∂ r ∂ r ∂ y + ∂ f ∂ s ∂ s ∂ y

Passo 2

Agora, vamos calcular cada derivada parcial :

∂ f ∂ r = 2 r s

∂ f ∂ s = - r 2 s 2

∂ r ∂ x = 1

∂ s ∂ x = 1

∂ r ∂ y = 0

∂ s ∂ y =   1

Passo 3

Substituindo nas nossas expressões

∂ z ∂ x =   ∂ f ∂ r ∂ r ∂ x + ∂ f ∂ s ∂ s ∂ x

∂ z ∂ x =   2 r s ( 1 ) + - r 2 s 2 ( 1 )

∂ z ∂ y =   ∂ f ∂ r ∂ r ∂ y + ∂ f ∂ s ∂ s ∂ y

∂ z ∂ y =   2 r s ( 0 ) + - r 2 s 2 ( 1 )

Deixando tudo em função dos parâmetros x e y

∂ z ∂ x =   2 ( 1 + x ) ( x + y ) - 1 + x 2 x + y 2 = x 2 + 2 x y + 2 y - 1 x + y 2

∂ z ∂ y = - ( 1 + x ) 2 ( x + y ) 2

Resposta

∂ z ∂ x =   x 2 + 2 x y + 2 y - 1 x + y 2

∂ z ∂ y = - ( 1 + x ) 2 ( x + y ) 2

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