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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.6 - Ex. 35

É dada uma função posição de uma partícula que se move ao longo de uma reta coordenada.

  1. Estime s e v quando a = 0 .
  2. Estime s e a quando v = 0 .

s = ln ⁡ 3 t 2 - 12 t + 13

Passo 1

  1. Vamos primeiro achar acha a função velocidade, derivando a função posição, vamos lá:

    2. v t = s ' t = 1 3 t 2 - 12 t + 13 3 ⋅ 2 ⋅ t 2 - 1 - 12 + 0 = 6 t - 12 3 t 2 - 12 t + 13

    E a função aceleração, derivando da função velocidade, vamos então derivar:

    a t = v ' t = 6 - 0 3 t 2 - 12 t + 13 - 6 t - 12 3 ⋅ 2 ⋅ t 2 - 1 - 12 + 0 3 t 2 - 12 t + 13 2 =

    = 6 3 t 2 - 12 t + 13 - 6 t - 12 6 t - 12 3 t 2 - 12 t + 13 2 = 18 t 2 - 72 t + 78 - 36 t 2 - 144 t + 144 3 t 2 - 12 t + 13 2 =

    = 18 t 2 - 72 t + 78 - 36 t 2 + 144 t - 144 3 t 2 - 12 t + 13 2 = - 18 t 2 + 72 t - 66 3 t 2 - 12 t + 13 2

    Vamos agora achar onde a t = 0 :

    - 18 t 2 + 72 t - 66 3 t 2 - 12 t + 13 2 = 0 → - 18 t 2 + 72 t - 66 = 0 →

    t = 6 + 3 3 = 2,57

    t = 6 - 3 3 = 1,43

    Passo 2

    Agora tá simples, é só achar os valores de s e v nesses pontos:

    s 1,43 = ln ⁡ 3 ⋅ 1,43 2 - 12 ⋅ 1,43 + 13 = ln ⁡ 3 ⋅ 1,43 2 - 12 ⋅ 1,43 + 13 = ln ⁡ 2 = 0,69

    s 2,57 = ln ⁡ 3 ⋅ 2,57 2 - 12 ⋅ 2,57 + 13 = ln ⁡ 2 = 0,69

    v 1,43 = 6 ⋅ 1,43 - 12 3 ⋅ 1,43 2 - 12 ⋅ 1,43 + 13 = 6 ⋅ 1,43 - 12 3 ⋅ 1,43 2 - 12 ⋅ 1,43 + 13 = - 1,73

    v 2,57 = 6 ⋅ 2,57 - 12 3 ⋅ 2,57 2 - 12 ⋅ 2,57 + 13 = 1,73

    Passo 3

  2. Vamos agora achar onde v t = 0 :

6 t - 12 3 t 2 - 12 t + 13 = 0 → 6 t - 12 = 0 → t = 2

Agora tá simples, é só achar os valores de s e a nesse ponto:

s 2 = ln ⁡ 3 ⋅ 2 2 - 12 ⋅ 2 + 13 = ln ⁡ 1 = 0

a 2 = - 18 ⋅ 2 2 + 72 ⋅ 2 - 66 3 ⋅ 2 2 - 12 ⋅ 2 + 13 2 = - 72 + 144 - 66 12 - 2 4 + 13 2 = 6 1 2 = 6

Resposta

  1. s 1,43 = 0,69 , s 1,43 = 0,69 , v 1,43 = - 1,73 e v 2,57 = 1,73
  2. s 2 = 0 e a 2 = 6
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