Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.8 - Ex. 21
Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada:
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular derivada de em relação a , usando a definição de derivada, que é dada por:
Além disso, nós precisamos encontrar o domínio de e de , que são os valores de para os quais essas funções estarão definidas. Então, vamos procurar por restrições nas funções, como um denominador que não pode ser zero, por exemplo. Lembrando que funções polinomiais, em geral, são sempre definidas para todo o conjunto dos números reais.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando a nossa derivada através da definição. Pra isso, vamos primeiro calcular em . Assim, temos:
Agora substituindo no limite do passo , junto com , temos:
Simplificando os termos semelhantes:
Simplificando o também:
E como o limite da constante é a própria constante, temos:
Passo 3
Agora vamos definir o domínio de . Observe que essa é uma função polinomial, que já estaria definida em todo conjunto dos números reais. Além disso, ela não apresenta nenhuma divisão, onde o denominador teria que ser diferente de zero, nem uma raiz ou logaritmo com restrições.
Portanto, o domínio da nossa é função é dado por:
No caso da nossa derivada, por ser uma função constante, todos os valores de levaram ao mesmo valor. E também pode assumir qualquer valor real, então o domínio da nossa derivada é definido por:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉