28. Dada x^(1/2) + y^(1/2) = 2 , mostre que

(d^2 y) / (d x^2) = 1 / (x^(3/2))

Passo 1

Para acharmos o resultado dessa derivada de ordem 2 precisamos ter em mente duas coisas:

1 - Teremos que fazer 2 derivadas. Uma da função dada e uma da que conseguiremos através dela, pois a ordem da derivada nos dá essa informação.

2 – Teremos que isolar o y na equação dada para obter uma dependência em x e assim realizar as derivadas. Assim teremos:

y = (2 - x^((1)/(2)))^2

Passo 2

1ª Derivada: Usaremos a função que nos foi dada inicialmente.

(d y)/(d x) = (d)/(d x) [(2 - x^((1)/(2)))^2]

= 2 (2 - x^((1)/(2))) * (- (1)/(2) x^((- 1)/(2)))

= - 2 x^((- 1)/(2)) + 1

Passo 3

2ª Derivada: Usaremos a função encontrada no final do Passo 2 dentro do nosso parêntese.

(d)/(d x) (- 2 x^((- 1)/(2)) + 1) = (d)/(d x) (- 2 x^((- 1)/(2))) + (d)/(d x) (1)

= - 2 (- (1)/(2) x^((- 3)/(2))) + 0

= x^((- 3)/(2))

Passo 4

Prontinho, fizemos as duas derivações necessárias. Agora para o resultado final é só igualar a derivada de ordem 2 dada no enunciado ao resultado da última derivada que fizemos.

(d^2 y)/(d x^2) = (1)/(x^((3)/(2)))

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Derive.f) y = e^(tan(x^2))
Seja y = 4 / x , onde x = x(t) é uma função derivável num intervalo aberto I . Suponha que, para todo t em I , x(t) ≠ 0 e dx / dt = β , beta constante. Verifique que(d^2 y) / (d t^2) = (8 β^2) / (x^3)
Seja g : R → R diferenciável tal que g(1) = 2 e g' (1) = 3 . Calcule f'(0) , sendo f dada por f(x) = e^x * g(3x + 1) .
Seja y = 1 / (x^2 + 1) , onde x = x(t) é uma função definida e derivável em R . Verifique que, para todo t real,dy/dt = -2 * x * y^2 * (dx/dt)
Determine alpha de modo que y = e^(alpha x) verifique a equação (d^2 y)/(d x^2) - 4 y = 0 .