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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 28

28. Dada x^((1)/(2)) + y^((1)/(2)) = 2 , mostre que

(d^2 y)/(d x^2) = (1)/(x^((3)/(2)))

Passo 1

Para acharmos o resultado dessa derivada de ordem 2 precisamos ter em mente duas coisas:

1 - Teremos que fazer 2 derivadas. Uma da função dada e uma da que conseguiremos através dela, pois a ordem da derivada nos dá essa informação.

2 – Teremos que isolar o y na equação dada para obter uma dependência em x e assim realizar as derivadas. Assim teremos:

y = (2 - x^((1)/(2)))^2

Passo 2

1ª Derivada: Usaremos a função que nos foi dada inicialmente.

(d y)/(d x) = (d)/(d x) [(2 - x^((1)/(2)))^2]

= 2 (2 - x^((1)/(2))) * (- (1)/(2) x^((- 1)/(2)))

= - 2 x^((- 1)/(2)) + 1

Passo 3

2ª Derivada: Usaremos a função encontrada no final do Passo 2 dentro do nosso parêntese.

(d)/(d x) (- 2 x^((- 1)/(2)) + 1) = (d)/(d x) (- 2 x^((- 1)/(2))) + (d)/(d x) (1)

= - 2 (- (1)/(2) x^((- 3)/(2))) + 0

= x^((- 3)/(2))

Passo 4

Prontinho, fizemos as duas derivações necessárias. Agora para o resultado final é só igualar a derivada de ordem 2 dada no enunciado ao resultado da última derivada que fizemos.

(d^2 y)/(d x^2) = (1)/(x^((3)/(2)))

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Seja f uma função diferenciável e suponha que, para todo x ∈ D f , 3 x 2 + x sen ⁡ f x = 2 . Mostre que f ' x = - 6 x + sen ⁡ f x x cos ⁡ f x , para todo x ∈ D f , com x cos ⁡ f x ≠ 0 .
Derive.i) y = ln ⁡ sec ⁡ 3 x + tan ⁡ 3 x
Determine a derivada. f x = e 3 x
Determine a derivada. y = sen ⁡ x + cos ⁡ x 3
Determine a derivada. y = s i n 4 x