25. Dada f x = s g n   x . (a) Prove que f ´ + 0   e   f ´ - 0 não existem. (b) Prove que lim x → 0 + ⁡ f ´ ( x ) = 0   e   lim x → 0 - ⁡ f ´ ( x ) = 0 . (c) Faça um esboço do gráfico de f .

Letra ( a )

Passo 1

Antes de mais nada devemos saber que sgn x é igual a função sinal. Em matemática e informática, a função sinal é a função que retorna o sinal do número real. Ou seja :

O que o enunciado nos pede nesta letra é para mostrarmos que em x1 = 0 nem a derivada à direita nem a derivada à esquerda de f(x) existem. A derivada à esquerda de f em x1, denotada por f’ - (x1), será definda por

A derivada à direita de f em x1, denotada por f’ + (x1), será definda por

Passo 2

A derivada à direita de f(X) em x1 = 0 será :

Passo 3

A derivada à esquerda de f(X) em x1 = 0 será :

Logo, .

Resposta

Demonstração.

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