22. Dada f x = 4 - x 2 . (a) Prove que f é contínua no intervalo fechado [ - 2 ,   2 ] . (b) Prove que nem f ´ + 2 nem f ´ - ( 2 ) não existe. (c) Faça um esboço do gráfico de f .

Letra (a)

Passo 1

O enunciado fornece a função f e o intervalo [ -2, 2 ] e solicita que mostremos que a função é contínua neste intervalo.

Devemos lembrar então que uma função é contínua em um determinado ponto se o limite for igual ao valor da função no ponto. Para que ela seja contínua em todo intervalo, ela deve estar definida em todos os pontos do intervalo.

Passo 2

O termo da raiz não pode ser negativo, de modo que para função estar bem definida devemos ter (4 – x2) ≥ 0. Assim, f só estaria bem definida se x2 ≤ 4, que é exatamente o intervalo dado. Assim, em todos os pontos do intervalo a função está bem definida.

Passo 3

Tomemos a Є [ -2, 2 ]. Como -2 ≤ a ≤ 2, segue que

Calculemos agora o limite:

Vemos então que para um x = a arbitrário pertencendo ao intervalo [-2,2]. Como a é arbritário, a relação vale para todos os pontos do intervalo, de modo que a função é contínua no intervalo todo.

Resposta

Demonstração.

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Dê um exemplo de duas funções f e g para as quais f é derivável em g ( 0 ) , g não é derivável em 0 e f ∘ g é derivável em 0 .
Suponha que a função f seja definida no intervalo aberto ( 0 ,1 ) e f x = s e nπ x x( x - 1 ) Defina f em 0 e 1 , de tal forma que f seja contínua no intervalo fechado [ 0 ,1 ] .
Suponha que f x = 3 x + | x | e g x = 3 4 x - 1 4 | x | . Prove que nem f ' ( 0 ) , nem g ' ( 0 ) existem, mas que ( f ∘ g ) ' ( 0 ) existe.
Em que pontos do domínio a função parece ser derivável? contínua, mas não derivável? nem contínua, nem derivável?
Em que pontos do domínio a função parece ser derivável? contínua, mas não derivável? nem contínua, nem derivável?