22. Dada f(x) = raiz(4 - x^2) . (a) Prove que f é contínua no intervalo fechado [-2, 2] . (b) Prove que nem f' + (2) nem f´(-2) não existe. (c) Faça um esboço do gráfico de f.

Letra (a)

Passo 1

O enunciado fornece a função f e o intervalo [ -2, 2 ] e solicita que mostremos que a função é contínua neste intervalo.

Devemos lembrar então que uma função é contínua em um determinado ponto se o limite for igual ao valor da função no ponto. Para que ela seja contínua em todo intervalo, ela deve estar definida em todos os pontos do intervalo.

Passo 2

O termo da raiz não pode ser negativo, de modo que para função estar bem definida devemos ter (4 – x2) ≥ 0. Assim, f só estaria bem definida se x2 ≤ 4, que é exatamente o intervalo dado. Assim, em todos os pontos do intervalo a função está bem definida.

Passo 3

Tomemos a Є [ -2, 2 ]. Como -2 ≤ a ≤ 2, segue que

Calculemos agora o limite:

Vemos então que para um x = a arbitrário pertencendo ao intervalo [-2,2]. Como a é arbritário, a relação vale para todos os pontos do intervalo, de modo que a função é contínua no intervalo todo.

Resposta

Demonstração.

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