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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.1 - Ex. 3g

Calcule:

int_(- oo)^(+ oo) (1)/(4 + x^2) d x

Passo 1

A função dada é par e simétrica, que significa que f (x) = f ( - x ) , isso acontece por conta da potência par do x e nenhuma potência ímpar. Como f (x) = f ( - x ) , que vale para qualquer x in R , podemos afirmar que

int_(- oo)^(+ oo) (1)/(4 + x^2) d x = 2 int_0^(+ oo) (1)/(4 + x^2) d x

Como se trata de uma integral imprópria, a primeira coisa a se fazer é aplicar o limite

int_(- oo)^(+ oo) (1)/(4 + x^2) d x = 2 int_0^(+ oo) (1)/(4 + x^2) d x = 2 underset(A -> + oo)(lim) int_0^A (1)/(4 + x^2) d x

Passo 2

Agora podemos calcular a integral tranquilamente, colocando 4 em evidência no denominador temos

= 2 underset(A -> + oo)(lim) int_0^A (1)/(4 (1 + (x^2)/(4))) d x = (1)/(2) underset(A -> + oo)(lim) int_0^A (1)/(1 + (x^2)/(4)) d x

Fazendo então a substituição

{[[u = (x)/(2) => u^2 = (x^2)/(4)],[d u = (d x)/(2) => d x = 2 d u]])

Substituindo os limites

{[[u (0) = 0],[u (A) = (A)/(2)]])

E temos

(1)/(2) underset(A -> + oo)(lim) int_0^A (1)/(1 + (x^2)/(4)) d x = (1)/(2) underset(A -> + oo)(lim) int_0^(A // 2) (2 d u)/(1 + u^2)

= underset(A -> + oo)(lim) int_0^(A // 2) (d u)/(1 + u^2)

Essa integral é elementar

underset(A -> + oo)(lim) int_0^(A // 2) (d u)/(1 + u^2) = underset(A -> + oo)(lim) [arctg u]_0^(A // 2)

Passo 3

Substituindo os limites de integração temos

= underset(A -> + oo)(lim) [arctg ((A)/(2)) - arctg 0]

Sabemos que arctg (0) = 0 e que com A -> + oo , A // 2 -> + oo e o limite

underset(x -> + oo)(lim) arctg (x) = (pi)/(2)

Então

underset(A -> + oo)(lim) [arctg ((A)/(2)) - arctg 0] = (pi)/(2)

Resposta

(pi)/(2)

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